Никогда-никогда...

[sergey-sovkov.livejournal.com]

Вопрос бесполезный.
Есть два круга, соприкасающиеся в точке А. Размеры кругов конечные, произвольные.
Из этой точки одновременно начинают равномерно двигаться точки В и С, каждая по своему кругу. Скорости точек тоже конечные, произвольные.
Вопрос: существует ли такие размеры кругов и скорости точек В и С, при которых эти точки больше никогда не встретятся в точке А?

Comments

[langsamer.livejournal.com]

Радиус одного круга 1/pi, второго - sqrt(2)/pi. Целым (и даже рациональным) числом оборотов вы единицу к кратному корню из двух не приведете.

[lanube.livejournal.com]

существуют

[sergey-sovkov.livejournal.com]

Эхе, интересно. Независимо от скоростей точек?

[pyka-npu3paka.livejournal.com]

Что означает "встреча"? В пределе встретятся, но это означает, что они подойдут друг к другу на бесконечно малое расстояние.
Тут вопрос о физическом смысле "точки". То есть с т.з. математики точка не имеет размера, а в реальном физическом мире встретятся (хотя бы исходя из существования планковской длины).

[langsamer.livejournal.com]

Да, этот момент я упустил. Линейные скорости в точке касания я предполагал одинаковыми - ну, шестерни зацепились...

[benderskiy.livejournal.com]

ха-ха, "не имеет размера"

однако ж координаты имеет

[7river.livejournal.com]

Под "встречей точек" понимается их одновременное пребывание в области т.А?
Тогда - да, данная система имеет область решений, соответствующих заданным условиям.

[lily-13.livejournal.com]

Не-не-не, шестерни не подходят. Там же рациональное соотношение зубцов.

[soldatovdd.livejournal.com]

Не существуют.

[wheyayeman.livejournal.com]

Период оборота по первому кругу t₁ = 2πR₁/v₁. По второму, соответственно, t₂=2πR₂/v₂

Предположим, что через n₁ оборотов по первому кругу и n₂ по второму точки встретятся.

Тогда: n₁t₁ = n₂t₂. Следовательно n₁R₁/v₁=n₂R₂/v₂.

Очевидно, n₁ и n₂ - целые числа. Стало быть сделав одну из дробей R₁/v₁ или R₂/v₂ рациональным числом, а вторую - нерациональным, вы получите искомое «несовпадение никогда». Ну, например, R₁=1 м, v₁=1 м/с, R₂=2 м, v₂=3 м/с.

Далее можете упрощать. Например, взяв R₁=R₂ или v₁=v₂.

[pyka-npu3paka.livejournal.com]

Точка - абстрактная модель. И да, принимается, что размер ее равен нулю.

[dendrr.livejournal.com]

Иными словами, вы интересуетесь, существуют ли такие два числа B и С (которые выражают время, затраченное на один оборот каждой из точек - например, в секундах), что если их умножать на разные целые числа, большие нуля - иначе говоря, на натуральные - то результирующие произведения будут всегда хоть на мизерную величину, но отличаться?

Ответ - да.
Решение - в ответе к этому моему комменту.

[sergey-sovkov.livejournal.com]

Вот это мне трудно понять. Чисто интуитивно кажется, что если деваться точкам некуда, то рано или поздно, исходная ситуация повторится.

[stairian.livejournal.com]

Встретятся, если соотношение R1/R2*V2/V1 является рациональным числом. (R - радиус, V - скорость).
При случайно заданных параметрах (например, равномерно выбранных между 1 и 10 среди действительных чисел) вероятность встречи - 0

[roquefort-tln.livejournal.com]

если скорости заданные и константные - введите поправку на отношение скоростей
Для любых скоростей - очевидно нет

[dendrr.livejournal.com]

Пусть точка B движется так, что делает один оборот в секунду. В конце концов, здесь не физика, а математика, и мы можем назвать "секундой" как раз время одного оборота.

Подбираем время оборота точки C, чтобы оно удовлетворило условиям в вопросе. Обозначаем его как t.
Точка C появляется в точке A через t секунд после начала отстчета, через 2t, 3t и т.д.
Точка B - через 1, 2, 3, ... - то есть любое целое число.

Значит, нам надо, чтобы для любого целого K не выполнялось бы условие Kt=N, где N - целое.
Или, что то же самое, нет таких K и N, для которых выполняется t=N/K.

В правой части последнего равенства стоит, по определению, рациональное число. Следовательно, t должно быть числом иррациональным. Допусти, "пи", числом Эйлера, кубическим корнем из 7...

[sergey-sovkov.livejournal.com]

Благодарю.

[benderskiy.livejournal.com]

здесь все всё поняли, кроме вас

вам хочется придраться к формулировкам, а под "встречей" (да, не совсем удачный термин) имеется в виду совпадение координат точек А, В и С, и тут не играет роли их "абстрактность"

[blackyblack.livejournal.com]

R1 = 1, V1 = 1, значит R1/V1 = 1
R2 = 2, V2 = 3, значит R2/V2 = 2/3

2/3 * 3 = 2
1/1 * 2 = 2

Значит через 2 круга первой точки и 3 круга второй точки они встретятся.

[sxakludant.livejournal.com]

Если периоды обхода кругов относятся как иррациональные ччисла, то никаогад не встретятся

[blackyblack.livejournal.com]

Чтобы получить полный ответ, нужно привести t к размерам кругов и скоростям.
Для точки A получается длина окружности 1 метр и скорость движения 1 метр в секунду.
Для точки B длина окружности 1 метр и скорость движения Пи метров в секунду.

[wheyayeman.livejournal.com]

Согласен. Неудачный пример. Надо было математику докручивать, а не примеры приводить.

Продолжаем моё последнее выражение:

n₁R₁/v₁=n₂R₂/v₂

Отсюда n₁/n₂ * v₂/v₁ * R₁=R₂.

В левой части стоит рациональное число (по определению). Т.о. если R₂ не рациональное число, то вот вам и ответ.

Так лучше? :)

[daxi.livejournal.com]

разве они не встретятся в любом случае через период времени, который и на время оборота В и на время оборота С делится без остатка?

[blackyblack.livejournal.com]

Лучше. Тока я в терминологии путаюсь, что там рациональное, а что нет. Ниже более развёрнутый ответ получился.

[wheyayeman.livejournal.com]

Рациональное - это представимое в виде дроби n/k, где n - любое целое число, а k - натуральное. (Это и была моя ошибка: я написал нерациональное, а 2/3 - это рациональное число, поэтому пример и оказался некорректен). Нерациональное - это какой-нибудь корень из двух, число пи, основание натурального логарифма и т.п.