Логическая задачка

[alekoksan.livejournal.com]

У нас есть некая формальная непротиворечивая система. Будет ли являться непротиворечивой формальная система, построенная на отрицании аксиоматики первой?

UPD: Дорогие господа, задачка-то логическая. Так что ваши утверждения должны быть обоснованы логически. А то развели тут.

Comments

[silur.livejournal.com]

Согласно теореме Гёделя вообще невозможно доказать непротиворечивость и полноту формальной системы =)

[alekoksan.livejournal.com]

Нельзя доказать используя аксиомы самой системы. С добавлением других можно.

[silur.livejournal.com]

Тогда, чтобы ручаться за выводы, полученные из новой системы, вам придётся доказать её полноту и непротиворечивость. Это невозможно сделать используя только аксиомы новой системы, поэтому придётся добавить ещё аксиом. И так до бесконечности. В этом и состоит принципиальное следствие теоремы Гёделя: невозможность доказать полноту и непротиворечивость любой системы, которую можно свести к формальной арифметике (читай, любого раздела математики, к коим относится и логика).

[alekoksan.livejournal.com]

У нас уже есть первая система. Из непротиворечивости ее выводим непр. второй. ПРОФИТ
ЗЫ: непротиворечивая система всегда неполна, как следует из т. Геделя.

[silur.livejournal.com]

Вывод о непротиворечивости самой первой системы может быть истинным, а может быть ложным, в силу изложенных обстоятельств, потому что доказательство непротиворечивости идёт с помощью систем, непротиворечивость которых тоже надо доказать. А этого сделать невозможно =)))

[alekoksan.livejournal.com]

Есть Н систем. С помощью 2 доказываем непротиворечивость 1, с помощью 2 - 3,и т.д. с помощью системы 1 доказываем непротиворечивость Н. Профит.

[silur.livejournal.com]

Учтите, что каждая последующая система является метасистемой для предыдущей. А в рамках системы абсолютно ничего нельзя уверждать о метасистеме =)))