Логическая задачка

[alekoksan.livejournal.com]

У нас есть некая формальная непротиворечивая система. Будет ли являться непротиворечивой формальная система, построенная на отрицании аксиоматики первой?

UPD: Дорогие господа, задачка-то логическая. Так что ваши утверждения должны быть обоснованы логически. А то развели тут.

Comments

[eterevsky.livejournal.com]

Ок. Я задаю систему аксиом в исчислении предикатов (http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B2%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BA%D0%B0). Используется алфавит из двух символов-термов: "0" и "1", а также одноместный предикат P(x). Система состоит из следующих трёх аксиом:

1. P(0)
2. не P(1)
3. P(0) или P(1)

[regent.livejournal.com]

Хорошо. Третья аксиома вытекает из первой. То есть третье утверждение может быть доказано в системе, состоящей из первых двух аксиом. Но утверждение, доказуемое в системе аксиом, называется теоремой, а не аксиомой. Или я чего-то не понимаю?

[eterevsky.livejournal.com]

Просто это не взаимоисключающие понятия. Теоремы — суть все доказуемые утверждения в некоторой логической теории. То есть аксиомы входят в число теорем.

Впрочем, можно попробовать решить изначальную задачу с тем условием, чтобы ни одна из аксиом не следовала из всех остальных. Рассмотрим например такой вариант:

1. A или B.
2. не A или не B.

Как легко видеть, ни одна из этих аксиом не следует из другой. Отрицанием этих аксиом будет:

1. не A и не B.
2. A и B.

Очевидно, что получившаяся система противоречива.

[alekoksan.livejournal.com]

Только А и В, третьего не дано?

[regent.livejournal.com]

Потрясённый, рисовал кружочки, изображаюшие множества А и В. Убедился, что так оно и есть: если два множества пересекаются, то их дополнения могут и не пересекаться.

[regent.livejournal.com]

Да. Вы правы. И прошу прощения за это (http://useless-faq.livejournal.com/12434178.html?thread=367019266#t367019266).

[eterevsky.livejournal.com]

Ничего страшного.