Никогда-никогда...

[sergey-sovkov.livejournal.com]

Вопрос бесполезный.
Есть два круга, соприкасающиеся в точке А. Размеры кругов конечные, произвольные.
Из этой точки одновременно начинают равномерно двигаться точки В и С, каждая по своему кругу. Скорости точек тоже конечные, произвольные.
Вопрос: существует ли такие размеры кругов и скорости точек В и С, при которых эти точки больше никогда не встретятся в точке А?

Comments

[wheyayeman.livejournal.com]

Если делится, то встретятся, конечно. А если не делится? :)

[daxi.livejournal.com]

но разве они могут не поделиться? ведь если перемножить время оборота В на время оборота С, у них не будет иного выбора, кроме как поделиться... или будет?

кстати, вон Вы там выше все так круто доказали... мне всё понятно, кроме того, почему отношение скоростей и радиус "рациональны по определению".

[karpion.livejournal.com]

Допустим, время оборота A = одной секунде, а время оборота B = Пи секунд.
Ну и какое целое число делится на Пи без остатка?

[magryba.livejournal.com]

нужно доказательство, что Пи при умножении на какое-либо число (от нуля до бесконечности) не составит целое число. Есть такое?

[karpion.livejournal.com]

Вы просите у меня доказательство иррациональности числа Пи. Увы, я его не знаю.
Могу дать доказательство иррациональности числа "квадратный корень из двух".

Умножать надо не на любое число, а на целое.
Если на любое - то вот Вам "100/Пи", умножайте.

[wheyayeman.livejournal.com]

См., например, доказательство Иоганна Ламберта (1761 г, между прочим). Потом ещё Лежандр это делал...

Так что она всё-таки вертится Пи иррационально.

[sxakludant.livejournal.com]

там есть
http://www.alleng.ru/d/math/math150.htm

[daxi.livejournal.com]

Это доходчиво отвечает на вопрос ТСа, но про скорости и радиус всё ещё не понятно :-)

[karpion.livejournal.com]

Ну так скорости и радиусы нужны лишь для того, чтобы получить время оборота каждой точки.

[daxi.livejournal.com]

По-моему, Вы только что убили во мне надежду разобраться в этом доказательстве! :-)

[karpion.livejournal.com]

Попробуем ещё раз.

Очевидно, что если увеличить одну из окружностей и пропорционально увеличить скорость движения точки - то задача не изменится, т.к. точка будет приходить в место старта (в точку А) в те же моменты, что и при исходной окружности.
Т.е. условие "В и С встретятся в точке А" относится исключительно к периоду оборота точек В и С.

Обозначим периоды вращения - Tb и Tc соответственно. Посмотрим на число "Tb/Tc".

Допустим, Tb/Tc оказалось равным некому рациональному числу m/n.
Тогда Tb*n=Tc*m, это как раз есть время, через которое точки встретятся.

А если Tb/Tc оказалось иррациональным - то они никогда не встретятся.

[daxi.livejournal.com]

Да, про вопрос ТСа мне стало ясно уже на примере про время оборота, равное пи :-)

Я никак не возьму в толк непосредственно фразу "выражение справа рационально по определению" из ветки выше :-) с детства не люблю фразу "очевидно, что" в доказательствах :-) она рождает во мне чувство иррационального протеста :-)

а ваш комментарий вообще заставил меня подозревать, что автор ещё и плодит ненужные сущности в ходе объяснений :-) а это - вообще преступление против человечности, не меньше ;-)

[karpion.livejournal.com]

Если Вы про выражение "N/K" - то там эти числа изначально взяты как целые. А дробь двух целых чисел - рациональна действительно по определению.

[daxi.livejournal.com]

я про фразу "Отсюда n1/n2 * v2/v1 * R1=R2. В левой части стоит рациональное число (по определению). Т.о. если R2 не рациональное число, то вот вам и ответ." вот из этого комментария http://useless-faq.livejournal.com/15052005.html?thread=503566309#t503566309

но, в общем, сегодня я, наконец, открыла всю эту историю на компьютере (а не с телефона), и теперь знаю правильный ответ :) и заключается он в том, что этот комментарий - пояснение к комментарию выше, где сделано предположение о том, что v1, v2 и R1 рациональные :) соответственно, тут они рациональные по определению - потому что их так определили :)

[wheyayeman.livejournal.com]

Рациональны по определению - это именно значит, что рациональным называется число, которое можно представить в виде дроби вида m/n. Поэтому мои выкладки вида n₁/v₁ именно, что рациональны по определению.

Но есть иррациональные числа (https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D1%80%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE). Таким образом рациональное число никогда не будет равно иррациональному. Поскольку слева число рациональное, то пытаясь приравнять его иррациональному мы как раз и получаем невыполнимое условие, что и требовалось.

Отвечая на ваш вопрос, "на пальцах" примерно получится, что никакое целое число оборотов по одному кругу не будет соответствовать целому числу оборотов по второму. Сначала второй точке чуть-чуть не хватит до места встречи, потом она чуть-чуть проскочит, потом опять не хватит, но уже меньше, потом опять проскочит слегка, и так далее. Эта разница при бесконечных оборотах, может, и стремится к нулю, но только при бесконечном количестве оборотов. А при конечном она нулю не равна.

[daxi.livejournal.com]

Ок, спрошу иначе. Почему скорость должна быть рациональным числом? Ведь в противном случае n/v как раз и не будет рациональным.

Про то, почему точки не встретятся я из комментария выше поняла, спасибо.

[wheyayeman.livejournal.com]

Она не должна. Она может быть, а может не быть. Поскольку мы пытаемся не допустить встречи, то можем изменять доступные нам параметры. Вот и выбираем её как хотим.

Теоретически, конечно, одна скорость может быть Пи м/с, а вторая корень из двух м/с.

[daxi.livejournal.com]

То есть правая часть не "по определению" рациональна, а по щучьему велению и вашему хотению? И, поскольку из тех же соображений левая часть иррациональна, они никак не могут быть равны, что завершает доказательство от противного?

[wheyayeman.livejournal.com]

Смотрите... При доказательстве "существуют ли такие параметры, что ..." достаточно указать хотя бы один набор параметров, при которых условие выполняется. То есть в нашем случае хотя бы один комплект параметров R₁, R₂, v₁, v₂, при которых точки не встретятся никогда. При этом сами параметры мы можем выбирать как нам будет угодно, если только наш выбор не противоречит условиям и физическому смыслу (ну не может радиус быть, отрицательным, например).

Условие встречи, как мы выяснили - это выполнение равенства

n₁R₁/v₁=n₂R₂/v₂

Преобразовывая, получаем n₁/n₂ * v₂/v₁ * R₁=R₂ (1)

Читаем определение рационального числа: рациональным называется число, представляемое обыкновенной дробью m/n, где числитель m — целое число, а знаменатель n — натуральное число.

Далее смотрим на левую часть выражения (1):
n₁ - целое (более того, оно положительное, хоть в случае числителя это и не важно), n₂ - тоже целое и тоже положительное (вот для знаменателя это важно). Стало быть n₂ - натуральное.

Строго говоря, мы ничего не знаем про остальные параметры, но, что важно, мы можем их выбирать самостоятельно в пределах заданных условий. Поэтому выберем их так:

v₂ - целое (например, 1),
v₁ - натуральное (например, 2),
R₁ - целое (например, 1).

Тогда вся левая часть будет рациональным числом.

А теперь выбираем параметр R₂ так, чтобы он был иррациональным (например, пресловутый π). Т.е. по определению (иррациональное число - это число, которое не может быть представлено обыкновенной дробью m/n, где числитель m — целое число, а знаменатель n — натуральное число) оно не может быть равно такой дроби, которая у нас стоит в левой части. Т.о. Правая часть не равна левой, что и требовалось доказать.

То есть при любом наборе параметров, удовлетворяющему условиям:

v₂ - целое,
v₁ - натуральное,
R₁ - целое,
R₂ - иррациональное

точки никогда не встретятся. Это, разумеется, при условии, что мы считаем точки - материальными точками. В противном случае там целая история с их размерами и квантовыми неопределённостями.

[daxi.livejournal.com]

спасибо :)

[wheyayeman.livejournal.com]

Всегда пожалуйста. ;)