сокоразбавление

[klaracat.livejournal.com]

Ситуация первая. Есть стакан сока, ведро воды и чайная ложка. Зачёрпываем ложку сока, выливаем в ведро. Из ведра зачерпываем ложку воды и выливаем в сок. Сколько таких периваний надо совершить, чтобы концентрация в стакане и в ведре сравнялась?

Ситуация вторая. Стакан сока, ложка и вода из под крана. Ложку сока выливаем в раковину, в стакан доливаем ложку воды. Сколько раз надо совершить вливаний-выливаний, чтобы в стакане была только вода?

Comments

[one-ga.livejournal.com]

Оффтоп.
Ответить на вопрос не могу, но вспоминается студенческое алкогольное "медведь пришёл - медведь ушёл"

[xen0n.livejournal.com]

Медведь никогда не приходит дважды.

[keytaro-kun.livejournal.com]

Соотношение объемов ведра/стакана/ложки?

[klaracat.livejournal.com]

Стакан 250 мл, ложка пять мл, ведро 15 литров.

[keytaro-kun.livejournal.com]

Ок, на завтра обещаю смоделировать (сегодня уже спать хочется, могу напутать, а вопрос серьезный, подходить к нему надо ответственно).

[http://users.livejournal.com/hayate_/]

1) Бесконечность. Концентрация будет все время приближаться к одинаковой, но никогда ее не достигнет.
2) Аналогично, бесконечнось - концентрация сока будет асимптотически приближаться к нулю, но при конечном (исчисляемом) количестве "переживаний" никогда его не достигнет.

Это все в теории.

На практике всегда есть погрешность эксперимента, при достижении которой уже нельзя будет различить очень близкие конфигурации.
Когда разница в концентрациях станет меньше такой погрешности - можно будет сказать, что достигнуто условие задачи.

[klaracat.livejournal.com]

В первой ситуации. погрешностью можно будет принебречь. Разница в полпроцента не критична.
Интереснее вторая ситуация. Гомеопатическая.

[dibr.livejournal.com]

С гомеопатической проще.
Один моль вещества (а в ложке сока явно меньше моля, даже если не учитывать что 80% сока - та же вода) это 6·10²³ молекул.
Одно разбавление 250мл пятью миллилитрами - это разбавление на 0.98.
0.98²⁷⁰⁰ = 2·10^-24, 0.98³⁰⁰⁰ = 4.8·10^-27.
То есть примерно после 2700-го разбавления у нас пойдёт счет на на молекулы, а на "то-ли есть одна молекула, то-ли нет её", а к 3000-му - вероятность что молекула останется улетит до долей процента.
На самом деле это произойдёт чуть быстрее, потому что в ложке меньше моля.

[klaracat.livejournal.com]

Помню в детсве нашла у бабушки несколько коробочек гомеопатических. И всё съела.
Меня всегда очаровали эти разбавления. Там вероятность того, что в каком-то шарике попадётся молекула действующего вещества ничтожно мала. А цену назначают, мама не горюй.

[Вячеслав Иванов (from livejournal.com)]

[klaracat.livejournal.com]

точно

[Вячеслав Иванов (from livejournal.com)]

[dibr.livejournal.com]

Упс, перепутал что чем разбавляем. А разбавляем мы стакан, в котором этих молей будет "несколько" (в зависимости от того, что мы считаем "соком", и считаем ли воду в соке особой, "соковой" водой).

Но поправка получается небольшая - скажем, 2800 вместо 2700 до "примерно одной молекулы". И к 3000 всё равно ни одной молекулы скорее всего не останется.

[dibr.livejournal.com]

Ну вот как бы да - я бы считал концом эксперимента то, когда разница концентраций за счет перемешивания станет меньше разницы концентраций за счёт молекулярных флюктуаций в случае "готовую гомогенную смесь разделили на стакан и ведро".
Экспериментальная погрешность - штука неоднозначная, точность ведь можно и увеличить (в принципе можно вообще "посчитать молекулы", приборы такие вроде уже есть). Но размешать лучше, чем позволяет термодинамика/статфизика - всё равно не получится :-)

[apashenko.livejournal.com]

Бесконечность. Концентрация будет все время приближаться к одинаковой, но никогда ее не достигнет.
Теория красивая, однако ж число Авогадро конечно.

[dendrr.livejournal.com]

Рассмотрим в общем виде. Пусть концентрация сока в стакане (объема V1) равна c1, а в ведре, соответственно, V2 и c2. То есть из V1 в стакане c1*V1 сока, остальное вода, в ведре аналогично.
Первый шаг - черпаем ложкой (объема v) из стакана. Так мы добавляем c1*v сока в ведро, где уже было c2*V2 сока. Теперь концентрация в ведре (а объем увеличится до V2+v) равна c2'=(c1*v+c2*V2)/(v+V2).
Обратное переливание: мы добавляем к c1*(V1-v) сока c2'*v, то есть в стакане становится концентрация с1'=(c1*(V1-v)+(c1*v+c2*V2)*v/(v+V2))/V1=(c1*(V1*V2-v*(V2-V1))+c2*V2*v)/V1(v+V2)

Их разность: c1'-c2'=(c1-c2)*V2*(V1-v)/V1(v+V2)=(с1-с2)*(1-v/V1)/(1+v/V2)
И вот смотрите: справа есть множитель, который постоянен, так как состоит из заданных объемов. Так как ложка маленькая, то он приблизительно равен единице, хотя и с меньшей стороны. Обозначим его просто A. Тогда разность концентраций после двойной процедуры всегда равна разности до, помноженной на A. После двух - на A^2, и так далее.

В самом начале сока в ведре нет, зато в стакане нет воды. То есть c1=1, c2=0. Тогда начальная разность с1-с2=1. Следовательно, разность концентраций после N переливаний "туда-сюда" равна просто A^N (A в степени N). Нулем эта штука никогда не станет, конечно. Алгебраическим. Физический же ответ выше написали: если мы измеряем концентрации (пусть неинвазивно) неким прибором, то он имеет предел точности. Опустившись ниже него, мы достигнем результата!

Кроме того, если говорить о чисто физической задача, мы ведь никогда не перемешиваем жидкость идеально, и можем вероятно зачерпнуть из стакана более насыщенную смесь, чем в среднем по стакану, а из ведра - более жидкую. Тогда мы "усиленно" занижаем концентрацию в стакане, и завышаем в ведре, процесс рано или поздно уравняет все.

Но там расчет не провести, вернемся к погрешностям... Рассчитаем A. Если чайная ложка - 5 мл, стакан - 200 мл, а ведро 10 л (или 10000 мл), то A=(1-5/200)(1-5/10000)=0.9745... Возведя его в 268 степень, получим число меньше 1/1000. Если наш измеритель концентрации видит только до одной десятой процента, то он посчитает обе жидкости одинаковыми. Итого ответ - 268 раз. При условии, что мы смешиваем, как боги.

Про кран - в продолжении...

[klaracat.livejournal.com]

Спасибо.
Оказывается вполне реальные цифры.

[dendrr.livejournal.com]

Любопытно, что мы можем считать кран с водой, как ведро бесконечного объема. Тогда A=1-5/200=0.975. Тогда при тех же соглашениях, получим, что ответ всего-то на 5 больше, чем в предыдущем случае.

Но с краном, кстати, гораздо нагляднее объяснить, почему нам никогда не достичь чистой воды. Вы смотрите - пусть сок состоит из частичек сока. Вычерпывая сок, мы постепенно уменьшаем их количество в стакане, а добавляя воду - уменьшаем количество на единичный объем. При этом, допустим, они распределяются равномерно по стакану каждый раз. А также, их количество в чайной ложке уменьшается раз за разом. В какой-то момент мы вычерпаем ложку, занятую водой плюс ровно 1 "атом" сока. В стакане при этом останется еще 39. И с этого момента вычерпывай-не вычерпывай, мы не сможем подцепить их: в ложке будет чистая вода. Только случайно. А это ну очень надолго.

С другой стороны, эту-то концентрацию не заметит никакой прибор. Но подсчитать это довольно сложно... Но попробуем.
D=A^N, то есть N=lgD/lgA (логарифмы тут десятичные я пишу).
Или N=100*lg(1/D)=100*lg(v/u)
Здесь v - объем ложки, u - объем "атома" сока. Что считать "атомом" сока? Ну давайте примем, что это молекула воды, облепленная всякими там глюкозами и ароматизаторами. Масса моля воды - 18 грамм. То есть в 18 мл воды содержить 6*10^22 молекул, и "объем" молекулы воды равен 5*10^(-22) мл.
Ну пускай эти облепления добавят объема... красоты ради 5*10^(-22) мл
Тогда N=100*lg(10^22)=2200.

Итак, вот вам ответ: чтобы (при условии постоянного и идеального перемешивания) мы достигли момента, когда мы начнем черпать чистую воду, должно пройти порядка 2000 (двух тысяч) двойных операций.
Поразительный результат! Делая по одному движению в секунду, мы дойдем до этого момента в течение часа-двух!

[klaracat.livejournal.com]

Если не спешить, то за день вполне можно разбавить!
Спасибо!

[sakurovskiy.livejournal.com]

Ну вот, а вас удивляет цена, люди работают вовсю чтоб сделать гомеопатию.

[karpion.livejournal.com]

Так они же не ложкой разбавляют!

[sakurovskiy.livejournal.com]

да у них более тонкие инструменты, не хухры-мухры - наука!

[klaracat.livejournal.com]

Для этого достаточно пяти переливаний. Стакан сока выливаем в ведро.Перемешиваем. Зачёрпываем стакан и выливаем в следущие ведро воды. Повторяем ещё четыре раза.

[sakurovskiy.livejournal.com]

ага, вот как зачерпнете молекулу ложкой из ведра, тогда и расскажете.

[klaracat.livejournal.com]

Там за молеукулу можно будет вознаграждение назначать. Тому, кто её найдёт.

[sakurovskiy.livejournal.com]

))

[karpion.livejournal.com]

Если в стакане 39 атомов сока, а ложка в 40 раз меньше стакана, то вероятность зацепить один атом сока - более половины.

[sashaandaigul.livejournal.com]

Атом сока - это отлично! :)

[karpion.livejournal.com]

"Атом" - это нечто неделимое. Т.е. минимальная частица сока, которая при делении уже не может считаться соком, не может учитываться как сок.

[sashaandaigul.livejournal.com]

Так даже более отлично получилось :)

[mur-r.livejournal.com]

Ваш вопрос - он про гомеопатию, да?

[klaracat.livejournal.com]

Нет. Просто интересен сам процесс разбавления.

[shredder-by.livejournal.com]

∞

[agorgul.livejournal.com]

неделя гомеопата

количество статей во всех сообществах удвоилась