http://kuratik.livejournal.com/ (![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png)
kuratik.livejournal.com) wrote in ![[community profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/community.png)
useless_faq2009-07-19 12:12 pm
kuratik.livejournal.com) wrote in useless_faq2009-07-19 12:12 pm
тервер
Дано 2 шара в мешке. Цвет шаров в мешке незвестен, но известно что они могут быть чёрный чёрный. белый белый, белый чёрный.
Вытаскиваем шар он белый, кладём обратно.
Вытаскиваем опять шар, он опять белый, кладём обратно. Так повторяется 100 раз подрят.
Какова вероятность что мы достанем белый шар?
Вытаскиваем шар он белый, кладём обратно.
Вытаскиваем опять шар, он опять белый, кладём обратно. Так повторяется 100 раз подрят.
Какова вероятность что мы достанем белый шар?
Внимание, правильный ответ:
Пусть изначально было известно, что вероятность того, что в мешке два белых шара р1, два разных шара р2. р1+р2=1
Тогда после того, как был 100 раз достали белый шар, вероятность того, что в мешке разные шары = р2*1/(2^100)/(р2*1/(2^100)+р1*1), а вероятность, что там два белых шара = р1/(р2*1/(2^100)+р1*1)
Соответственно, вероятность, что будет чёрный шар в два раза меньше, чем вероятность того, что в мешке чёрный и белый шар. Т.е. р2/(р2*1/(2^100)+р1*1)(2^101))
Теперь примеры. Пусть есть два мешка - в одном ЧБ, в другом ББ. Мы наугад берём мешок и начинаем процедуру, тогда вероятность, что 101 раз будет чёрный шар примерно равна 3.94*10^(-31), если известно, что в мешке точно ЧБ, тогда вероятность равна 1/2. Если положили два случайных шара, тогда р1=1/3, р2=2/3. И тогда вероятность, что в итоге будет чёрный примерно равна 10,5*10^(-31) Так-то =)
Re: Внимание, правильный ответ:
no subject
Если "ББ Р(бб)=1/3, вероятность ЧЧ Р(чч)=1/3, вероятность ЧБ и БЧ Р(чб)=Р(бч)=1/6, но комбинации ЧБ и БЧ неразличимы" и мы точно знает, что там не может быть ЧЧ, тогда в итоге и получим 50/50.
no subject
no subject
Пусть изначально вероятность р(ЧБ)=2/3, р(ББ)=1/3, ЧЧ=0.
Из мешка ЧБ вероятность 100 раз достать белый шар р(100)=1/2^100. Тогда вероятность того, что нам достался мешок ЧБ, и из него 100 раз достанут белый шар = р(ЧБ)*р(100).
Вероятность того, что нам достался ББ и из него достали 100 раз белый шар = р(ББ).
Тогда, если известно, что 100 раз достали белый шар, вероятность того, что его достали из ЧБ считается по условной вероятности: р(ЧБ)*р(100)/(р(ЧБ)*р(100)+р(ББ)).
no subject
Тут весь сыр-бор из-за некорректно поставленного вопроса. Я считаю вероятность в сто первый раз достать белый, если ДАНО, что предыдущие сто раз были белые. Так я понял задачу. И в этом случае неважно проводилась ли сотня экспериментов или всего два.
Вы считаете вероятность сто раз достать белый, а потом ещё раз белый. То есть вы не считаете, что первые сто раз уже случились.
Как понимать задачу? «Вытаскиваем шар он белый, кладём обратно.
Вытаскиваем опять шар, он опять белый, кладём обратно. Так повторяется 100 раз подрят». После этого (!) задан вопрос. То есть я считаю, что то, что до вопроса уже дано. Вы - нет. :)
no subject
Вы пишете: "И в этом случае неважно проводилась ли сотня экспериментов или всего два." что значит не важно? Это не повлияет на результат задачи? Абсурд!
Попробуйте решить следующую задачу, она по сути такая же, только цифры другие и всяких степеней будет немного, если разберёмся с ней, то легко разберёмся и с основной задачей.
Есть два мешка в одном 3 белых, один чёрный, в другом 1 белый, три чёрных.
Берём наугад один мешок, из мешка достаём один шар. Он белый. Вопрос: какая вероятность, что мы достали мешок с тремя белыми шарами и какая, что с тремя чёрными?
no subject
Согласитесь, если мы бросаем симметричную монету и сто раз подряд она падает одной стороной, то вероятность в следующий раз увидеть орла равна 1/2?
А в вашей задаче мы так же точно упираемся в вопрос нужно ли считать вероятность достать именно белый шар. С одного эксперимента, конечно, будет 1/2, но нужно ли её учитывать или по условию мы его уже достали.
no subject
Дело в том, что если мы не знаем, какой у нас мешок ББ или ЧБ. Если вероятность 50/50, тогда вероятность достать из этого мешка белый у нас 3/4. Но если мы много-много раз доставали белый и клали его обратно, то мы почти наверняка можем быть уверенным, что у нас у нас мешок ББ. А значит, что вероятность достать из мешка белый шар стремиться к 1 с увеличением кол-ва экспериментов.
Так вот, после того, как 100 раз достали белый шар, мы можем сказать, что очень маловероятно, что у нас мешок ЧБ. Но это вероятность есть. И для этого мы считаем (1/2)^100, чтоб посчитать вероятность, что мы попали в данную ситуацию с мешком ЧБ и ББ. Чтоб потом посчитать, какая вероятность получения белого шара.
И всё-таки решите задачку, которую я дал в предыдущем комментарии.
no subject
«Но если мы много-много раз доставали белый и клали его обратно, то мы почти наверняка можем быть уверенным, что у нас у нас мешок ББ. А значит, что вероятность достать из мешка белый шар стремиться к 1 с увеличением кол-ва экспериментов». Да нет же. В том-то и дело, что уверенность - это не статистическая величина. По здравому смыслу да, но не в соответствии со статистикой. :) Вероятности не накапливаются. Именно поэтому если в казино сто раз выпало чёрное, то вероятность, что выпадет чёрное в следующий раз равна всё равно 1/2 (если не учитывать зеро).
Вот если учитывать, что перед этим нужно (а не дано) достать сто раз белый подряд, то да, эта вероятность очень мала.
Если считать, что в вашей задаче белый шар уже извлечен и это дано, то 3/4 для БББЧ и 1/4 для БЧЧЧ. (Я просто не помню про какой мешок был вопрос, а в почте только один уровень виден.) А вот если считать вероятность, что достанем белый из мешка БББЧ, то она равна 3/8, а что достанем белый из БЧЧЧ, то 1/8.
Соответственно для второго эксперимента (если вынутый шар положить в тот же мешок) вероятность, что мы взяли БББЧ при условии, что ДАНО, что шар белый - снова 3/4, а БЧЧЧ при условии, что ДАНО, что шар белый - снова 1/4. А вот если считать вероятность снова достать белый из БББЧ, то (3/8)^2, а из БЧЧЧ - (1/8)^2. И так далее. Снова упираемся в вопрос что считать данным. :)
no subject
И про казино было правильно написано.
Но есть вы понимаете, что вероятность достать белый шар из ББ=1, а из ЧБ=1/2. Но почему-то не понимаете, что из того, что уже 100 раз был белый и Теорверу и по здравому смыслу у нас получается, что мешок скорее всего ББ.
По поводу моей задачи. Если есть два мешка БББЧ и БЧЧЧ, взяли один наугад, то вероятность получить белый =1/2. В силу симметрии.
Но вот достали белый шар и положили обратно. Получаем, что поменялась вероятность того, что у нас БББЧ и БЧЧЧ - теперь они 3/4 и 1/4. Теперь, вероятность того, что мы достанем белый из БББЧ = 3/4*3/4=9/16, а вероятность получить белый и БЧЧЧ = 1/4*1/4. Итоговая вероятность достать белый шар 10/16.
Если эксперимент повторить много-много раз и всегда будет белый, тогда с каждым экспериментом вероятность получить белый будет расти. В пределе будет 3/4, но не единица.
no subject
Только вы путаетесь. Что мы считаем-то в вашей задаче? Вероятность достать белый шар или вероятность достать его из мешка БББЧ или БЧЧЧ? И ещё мне кажется, что вы считаете, что во втором эксперименте вы не выбираете мешок наугад, как я считал, а берёте из того же, просто вернув в него шар.
no subject
Да, мы берём его из того же мешка, положим предварительно туда шар.
БББЧ = 3/4*3/4=9/16 - первые 3*4 - это вероятность того, что перед нами БББЧ, после того, как мы достали белый шар. А вторые 3*4 - это вероятность достать из БББЧ белый шар (и тут уже неважно, какие шары мы доставали до этого).
Теперь дальше. Пусть, два раза достали белый шар. Вероятность того, что БББЧ два раза подряд достанут белый шар - 9/16. Вероятность того, что из БЧЧЧ достанут белый шар - 1/16. Таким образом, вероятность, того, что перед нами БББЧ = 9/10, а БЧЧЧ = 1/10.
Какова же вероятность тогда достать из этого же мешка белый шар? 9/10*3/4+1/10*1/4=28/40
no subject
А ещё мы с вами путаемся в вопросах. Я понимаю вопрос «какая вероятность, что мы достали мешок с тремя белыми шарами и какая, что с тремя чёрными?» именно как вопрос вероятности выбора одного из двух мешков, а не вероятности достать белый шар.
Поэтому давайте определимся с задачей. Что дано и что надо считать.
Если считать, что ДАНО, что мы достали белый шар, то на втором эксперименте мы снова не знаем какой это мешок. С большой вероятностью БББЧ, но может и БЧЧЧ. Поэтому со второго эксперимента вероятность достать белый шар равна 1/4*1/2+3/4*1/2=1/2. То же самое в третьем эксперименте.
Если считать вероятность снова достать белый шар из мешка БББЧ, то она равна (3/4)^2=9/16. С третьего эксперимента (3/4)^3=27/64.
Можно ещё считать всякие условные вероятности, но там слишком много вариантов перебора условий, да и к задаче эта экзотика не относится. Так что давайте определяться с условиями. Что дано, а что надо искать.
Итого. Мы путаемся в вопросах и снова в том, что дано. Повторяю: я считаю, что всё, что написано до слова «вопрос» уже данным, случившимся. Даже если вероятность этого события мала. Поэтому у меня в ответ задачи в теме не входят сотые степени, ибо я считаю, что эти сто раз (как бы маловероятны они ни были) уже произошли; ну что ж поделать - так кому-то повезло.
no subject
С самого начала, когда взяли наугад мешок, вероятность достать из него белый шар - 1/2.
Потом, после того как достали белый шар из этого мешка и положили его обратно, вероятность достать белый шар из этого мешка после этого (мы не знаем, какой это мешок, но с вероятностью 3/4 - это БББЧ, как вы сами до этого и ответили) - 10/16.
А запутались вы, потому что не знаете, что такое условная вероятность. Как раз, к нашей задачи условная вероятность имеет прямое значение. Есть два независимых события:
1) Мы выбираем наугад мешок ЧБББ.
2) Из этого мешка n раз подряд достали и вернули белый шар.
Вопрос, если известно, что событие 2 совершилось, какая вероятность того, что совершилось и первое событие? Так вот, оно вовсе не равно 1/2.
no subject
С самого начала, когда взяли наугад мешок, вероятность достать из него белый шар - 1/2.
Согласен.
Теперь скажите, какой мешок мы берём для второй попытки? Тот же самый или снова произвольный? (Белый шар, который мы достали, мы кладём в тот же мешок, откуда его достали - это не обсуждается.)
no subject
(no subject)
(no subject)
(no subject)
(no subject)
(no subject)
(no subject)
(no subject)
(no subject)
Re: Внимание, правильный ответ:
Можно поподробнее?
Я так понял вы говорите:
Pa = P(разные шары) = р2*1/(2^100)/(р2*1/(2^100)+р1*1)
Pb = P(два белых шара) = р1/(р2*1/(2^100)+р1*1)
А почему Pa+Pb не равно 1 в таком случае?
no subject
Pb - это дробь с таким же знаменателем, но числитель у неё р1.
Pa+Pb = (р2/(2^100)+р1)/(р2/(2^100)+р1)=1
no subject
Вы говорите:
>>> ибо не известна вероятность того, что в мешке два белых шара, или белый и чёрный
Из этого получили:
Pa = р2*1/(2^100)/(р2*1/(2^100)+р1*1)
и правильно решили, что р1=1/3, р2=2/3
Только вот вы странным образом скомбинировали подсчет вариантов с этими p1 и p2.
Это вызывает сомнения. Откуда такой прием? Получилось что вы учли эти вероятности дважды. Один раз при подсчете вариантов, когда написали число 2^100 и 1, а второй раз когда домножили эти числа на ваши веса p1 и p2.
Любую задачу на классический теорвер можно решить только подсчетом вариантов, не прибегая к каким-либо хитрым приемам.
Если в задаче не сказано обратного, то в классическом теорвере принято, что все элементарные исходы равновероятны. Т.е. в данном случае 2^200+2 равновероятных элементарных исходов.
В этом случае результат подсчитывается просто количеством вариантов.
Вместо вашего Pa = р2*1/(2^100)/(р2*1/(2^100)+р1*1) = p2 / (p2 + p1 * 2 ^ 100)
получим Pa = 1 / (2 + 2^100)
Просто потому, что все элементарные исходы равновероятны и не нуждаются в дополнительной нормировке на p1 и p2.
Где здесь вероятности 1/3 и 2/3 спросите вы, которые были в прошлый раз учтены дважды?
Можно переписать ответ так:
Pa = 1 / (2 + 2^100) = 1 / 3 / ( 2/3 + 1/3 * 2^100 )
А если вы еще раз добавите p1 и p2, то получится, что вы их учтете дважды.
По-моему так
no subject
Чтоб легче было понять задам вам по сути такую же задачу, но с более простыми числами, что легче читалось:
Есть два мешка в одном 3 белых, один чёрный, в другом 1 белый, три чёрных.
Берём наугад один мешок, из мешка достаём один шар. Он белый. Вопрос: какая вероятность, что мы достали мешок с тремя белыми шарами и какая, что с тремя чёрными?
no subject
Нужно учитывать, что способ с условными вероятностями менее надежен, в том смысле, что
с ним проще сделать ошибку. Прямой подсчет вариантов работает абсолютно всегда.
*БББ
***Б
простым подсчетом вариантов:
Omega={ *11, Б12, Б13, Б14, *21, *22, *23, Б24 }
B = Omega2 = {Б12, Б13, Б14, Б24}
A = {1 мешок} = {Б12, Б13, Б14,}
N(Omega2) = 4
N(A) = 3;
P(A) = N(A) / N (Omega2) = 3/4
Итого: p1=3/4, p2=1/4
Тут я, кстати нигде не вводил никаких дополнительных вероятностей, а только использовал факт, что все элементарные события равновероятны.
Тоже самое по формуле условной вероятности:
A = {1й мешок}
B = {Белый}
P(A * B) = P(A|B) P(B)
1/2 * 3/4 = P (A|B) * 1/2
P(A | B) = 3/4
Итого: p1=3/4, p2=1/4
Oт способа решения ответ не должен зависеть
Ваше решение почему-то не сходится с прямым подсчетом, насколько я вижу, хотя может конечно я сделал ошибку где-то, но я пока этого не вижу.
Если вы использовали формулу P(A*B) = P(A|B) * P(B), то что вы брали за A и B ?
no subject
По вашему вопросу:
A - событие, что нам достался мешок ЧБ (изначальные вероятности р2 и р1)
В - событие, что из мешка (какой мешок - неизвестно) 100 раз подряд доставали белый шар.
Давайте, чтоб легче читалось р100 = 1/(2^100) - вероятность из ЧБ достать 100 раз белый шар.
P(A|B) - вероятность что мешок ЧБ, если известно, что из него достали 100 раз белый шар.
Тогда P(A*B)=р2*р100
P(B)=р2*р100+р1
P(A|B)=р2*р100/(р2*р100+р1)
no subject
N(B) = 2^100 + 2
N(всех вариантов выбрать 100 шаров) = 3 * 2^100
P(B) = N(B) / N(всего) = (2^100 + 2) / (3*2^100) = 1/3 + 2/3 * 1/2^100
это совпадает с вашей вероятностью P(B) если {p1,p2} = {1/3, 2/3}
N(A*B) = 2
P(A*B) = N(A*B) / N(всего) = 2 * 1/(3*2^100) = 2/3 * 1/2^100
Это тоже совпадает с вашим
P(A|B) = (2/3 * 1/2^100) / (1/3 + 2/3 * 1/2^100) = 2 / (2^100 + 2)
Опять получился верный результат. И он действительно совпадает с тем, что в моем решении обозначено P(A v B) (другие обозначения). Все же не понятно зачем понадобились p1 и p2. Вероятности ваших A и B считаются и без них.
no subject
Кому-то очевидно, что р1=р2 - (это если есть два мешка, берём любой наугад).
А кому-то может показаться, что р1=1/3, р2=2/3. - Это если шары наугад красятся в чёрный/белый. Вообще, в зависимости от этой величины, вероятность достать белый шар меняется от 0.5 до 1.