тервер

[kuratik.livejournal.com]

Дано 2 шара в мешке.  Цвет шаров в мешке незвестен, но известно что они могут быть чёрный чёрный. белый белый, белый чёрный.
Вытаскиваем шар он белый, кладём обратно.
Вытаскиваем опять шар, он опять белый, кладём обратно.  Так повторяется 100 раз подрят.
Какова вероятность что мы достанем белый шар?

Comments

[astronavigator.livejournal.com]

ОК. Рассуждение понятно. Все, похоже, верно, но только именно для весьма скорректированной задачи.

Вы говорите:
>>> ибо не известна вероятность того, что в мешке два белых шара, или белый и чёрный
Из этого получили:
Pa = р2*1/(2^100)/(р2*1/(2^100)+р1*1)
и правильно решили, что р1=1/3, р2=2/3

Только вот вы странным образом скомбинировали подсчет вариантов с этими p1 и p2.
Это вызывает сомнения. Откуда такой прием? Получилось что вы учли эти вероятности дважды. Один раз при подсчете вариантов, когда написали число 2^100 и 1, а второй раз когда домножили эти числа на ваши веса p1 и p2.

Любую задачу на классический теорвер можно решить только подсчетом вариантов, не прибегая к каким-либо хитрым приемам.

Если в задаче не сказано обратного, то в классическом теорвере принято, что все элементарные исходы равновероятны. Т.е. в данном случае 2^200+2 равновероятных элементарных исходов.

В этом случае результат подсчитывается просто количеством вариантов.

Вместо вашего Pa = р2*1/(2^100)/(р2*1/(2^100)+р1*1) = p2 / (p2 + p1 * 2 ^ 100)
получим Pa = 1 / (2 + 2^100)

Просто потому, что все элементарные исходы равновероятны и не нуждаются в дополнительной нормировке на p1 и p2.

Где здесь вероятности 1/3 и 2/3 спросите вы, которые были в прошлый раз учтены дважды?

Можно переписать ответ так:
Pa = 1 / (2 + 2^100) = 1 / 3 / ( 2/3 + 1/3 * 2^100 )
А если вы еще раз добавите p1 и p2, то получится, что вы их учтете дважды.

По-моему так

[milgrig.livejournal.com]

Никаким странным образом я тут не считал. Это всё считается по формуле условной вероятности.
Чтоб легче было понять задам вам по сути такую же задачу, но с более простыми числами, что легче читалось:
Есть два мешка в одном 3 белых, один чёрный, в другом 1 белый, три чёрных.
Берём наугад один мешок, из мешка достаём один шар. Он белый. Вопрос: какая вероятность, что мы достали мешок с тремя белыми шарами и какая, что с тремя чёрными?

[astronavigator.livejournal.com]

Ну можно решить и такую задачу.
Нужно учитывать, что способ с условными вероятностями менее надежен, в том смысле, что
с ним проще сделать ошибку. Прямой подсчет вариантов работает абсолютно всегда.

*БББ
***Б

простым подсчетом вариантов:

Omega={ *11, Б12, Б13, Б14, *21, *22, *23, Б24 }
B = Omega2 = {Б12, Б13, Б14, Б24}
A = {1 мешок} = {Б12, Б13, Б14,}
N(Omega2) = 4
N(A) = 3;
P(A) = N(A) / N (Omega2) = 3/4

Итого: p1=3/4, p2=1/4

Тут я, кстати нигде не вводил никаких дополнительных вероятностей, а только использовал факт, что все элементарные события равновероятны.

Тоже самое по формуле условной вероятности:

A = {1й мешок}
B = {Белый}
P(A * B) = P(A|B) P(B)
1/2 * 3/4 = P (A|B) * 1/2
P(A | B) = 3/4

Итого: p1=3/4, p2=1/4

Oт способа решения ответ не должен зависеть

Ваше решение почему-то не сходится с прямым подсчетом, насколько я вижу, хотя может конечно я сделал ошибку где-то, но я пока этого не вижу.


Если вы использовали формулу P(A*B) = P(A|B) * P(B), то что вы брали за A и B ?

[milgrig.livejournal.com]

Ок. Задача решена. Теперь дальше. По моей задаче - после того, как достали шар и посмотрели что не белый его положили обратно. Какая вероятность, что в следующий раз шар будет снова белый? В принципе решение на эту и следующую задачу можно посмотреть в другой подветке комментариев.

По вашему вопросу:
A - событие, что нам достался мешок ЧБ (изначальные вероятности р2 и р1)
В - событие, что из мешка (какой мешок - неизвестно) 100 раз подряд доставали белый шар.
Давайте, чтоб легче читалось р100 = 1/(2^100) - вероятность из ЧБ достать 100 раз белый шар.
P(A|B) - вероятность что мешок ЧБ, если известно, что из него достали 100 раз белый шар.

Тогда P(A*B)=р2*р100
P(B)=р2*р100+р1
P(A|B)=р2*р100/(р2*р100+р1)

[astronavigator.livejournal.com]

OK а теперь через честный подсчет вариантов ваших A и B.

N(B) = 2^100 + 2
N(всех вариантов выбрать 100 шаров) = 3 * 2^100
P(B) = N(B) / N(всего) = (2^100 + 2) / (3*2^100) = 1/3 + 2/3 * 1/2^100
это совпадает с вашей вероятностью P(B) если {p1,p2} = {1/3, 2/3}

N(A*B) = 2
P(A*B) = N(A*B) / N(всего) = 2 * 1/(3*2^100) = 2/3 * 1/2^100
Это тоже совпадает с вашим

P(A|B) = (2/3 * 1/2^100) / (1/3 + 2/3 * 1/2^100) = 2 / (2^100 + 2)

Опять получился верный результат. И он действительно совпадает с тем, что в моем решении обозначено P(A v B) (другие обозначения). Все же не понятно зачем понадобились p1 и p2. Вероятности ваших A и B считаются и без них.

[milgrig.livejournal.com]

Итоговый ответ в задаче зависит от величин p1, p2 (р3=0 - что двух чёрных быть не можем узнаём после первого эксперимента). А они в условии не указаны.
Кому-то очевидно, что р1=р2 - (это если есть два мешка, берём любой наугад).
А кому-то может показаться, что р1=1/3, р2=2/3. - Это если шары наугад красятся в чёрный/белый. Вообще, в зависимости от этой величины, вероятность достать белый шар меняется от 0.5 до 1.