Логическая задачка
Jan. 2nd, 2012 05:01 pm![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
alekoksan.livejournal.com posting in ![[community profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/community.png){kind=small}
useless_faqУ нас есть некая формальная непротиворечивая система. Будет ли являться непротиворечивой формальная система, построенная на отрицании аксиоматики первой?
UPD: Дорогие господа, задачка-то логическая. Так что ваши утверждения должны быть обоснованы логически. А то развели тут.
UPD: Дорогие господа, задачка-то логическая. Так что ваши утверждения должны быть обоснованы логически. А то развели тут.
no subject
Date: 2012-01-04 03:52 pm (UTC)Если бы замена одной из аксиом на противоположную приводила к противоречию, это означало бы, что данная аксиома логически вытекает из остальных. То есть это было бы доказательством аксиомы "от противного". Но "аксиома", которая доказуема — не аксиома, а теорема.
Следовательно, замена одной аксиомы на противоположную порождает новую непротиворечивую систему аксиом. Отсюда просто вытекает, что и замена всех аксиом не приводит к противоречию.
no subject
Date: 2012-01-04 03:56 pm (UTC)no subject
Date: 2012-01-04 04:01 pm (UTC)no subject
Date: 2012-01-04 04:07 pm (UTC)no subject
Date: 2012-01-04 04:18 pm (UTC)Заменяем первую аксиому на противоположную. Согласно доказанному выше, получаем систему аксиом номер 2, которая тоже непротиворечива.
Заменяем в системе 2 вторую аксиому - получаем систему номер 3, которая в силу того же опять непротиворечива.
Заменяем в системе 3 третью аксиому ...
И так пока не исчерпаем весь список.
no subject
Date: 2012-01-04 04:27 pm (UTC)no subject
Date: 2012-01-05 07:33 pm (UTC)http://useless-faq.livejournal.com/12434178.html?thread=367144706#t367144706
no subject
Date: 2012-01-04 05:37 pm (UTC)no subject
Date: 2012-01-04 10:35 pm (UTC)no subject
Date: 2012-01-04 10:37 pm (UTC)no subject
Date: 2012-01-05 06:43 am (UTC)no subject
Date: 2012-01-05 06:33 am (UTC)Более того, даже если предположить, что в изначальной системе все аксиомы независимы, то бишь ни одна из них не следует из остальных, это свойство вовсе не обязано сохраниться после совершения первой же замены одной из аксиом на противоположную. То есть система A1, A2, A3 может быть независимой, а система A1, A2, "не A3" -- уже нет.
no subject
Date: 2012-01-05 09:12 am (UTC)no subject
Date: 2012-01-05 10:15 am (UTC)no subject
Date: 2012-01-05 10:22 am (UTC)no subject
Date: 2012-01-05 10:26 am (UTC)no subject
Date: 2012-01-05 10:34 am (UTC)no subject
Date: 2012-01-05 10:49 am (UTC)no subject
Date: 2012-01-05 01:46 pm (UTC)no subject
Date: 2012-01-05 05:56 pm (UTC)1. P(0)
2. не P(1)
3. P(0) или P(1)
no subject
Date: 2012-01-05 06:29 pm (UTC)no subject
Date: 2012-01-05 06:35 pm (UTC)Впрочем, можно попробовать решить изначальную задачу с тем условием, чтобы ни одна из аксиом не следовала из всех остальных. Рассмотрим например такой вариант:
1. A или B.
2. не A или не B.
Как легко видеть, ни одна из этих аксиом не следует из другой. Отрицанием этих аксиом будет:
1. не A и не B.
2. A и B.
Очевидно, что получившаяся система противоречива.
no subject
Date: 2012-01-05 07:06 pm (UTC)no subject
Date: 2012-01-05 07:20 pm (UTC)no subject
Date: 2012-01-05 07:31 pm (UTC)(no subject)
From: