сила геометрии
Nov. 1st, 2008 11:44 am![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png)
![[community profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/community.png)
луч, прямая, полуплоскость и плоскость бесконечны.
однако интуитивно ощущается, что прямая более бесконечна, чем луч, полуплоскость более бесконечна, чем прямая, а плоскость более бесконечна, чем полуплоскость.
есть ли у такого ощущения какое-то строго математическое обоснование, или это просто глюк человеческого восприятия абстрактных понятий?
однако интуитивно ощущается, что прямая более бесконечна, чем луч, полуплоскость более бесконечна, чем прямая, а плоскость более бесконечна, чем полуплоскость.
есть ли у такого ощущения какое-то строго математическое обоснование, или это просто глюк человеческого восприятия абстрактных понятий?
no subject
Date: 2008-11-01 08:59 am (UTC)Целые числа (прямая) и натуральные числа (луч) равномощны. То есть их "количество" -- "одинаковая" бесконечность. Доказывается просто: их можно отобразить один к одному. 0 -> 0, 1 -> 1, -1 -> 2, 2->3, -2->4, ...
В геометрических терминах я бы оно не выражал.
no subject
Date: 2008-11-01 09:04 am (UTC)тогда с плоскостью и полуплоскостью - аналогично, но на множестве комплексных чисел?
и, получается, плоскость всё-таки более бесконечна, чем прямая?
no subject
Date: 2008-11-01 11:18 am (UTC)Более того, плоскость и прямая одинаково бесконечны в смысле мощности множества.
С другой стороны действительно если взять луч на прямой, то его точки являются подмножеством точек прямой, но не наоборот. Что не мешает этим множествам иметь одинаковую мощность.
Вот например множество натуральных (или рациональных) чисел и множество действительных имеют разную мощность, ЕМНИП.
no subject
Date: 2008-11-01 09:02 am (UTC)no subject
Date: 2008-11-01 09:28 am (UTC)(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:занудничает
From:(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:no subject
Date: 2008-11-01 09:04 am (UTC)no subject
Date: 2008-11-01 09:05 am (UTC)(no subject)
From:(no subject)
From:no subject
Date: 2008-11-01 09:08 am (UTC)Например, если брать класс отображений, сохраняющих растояние между точками, то полуплоскость меньше плоскости в евклидовой геометрии. А если требовать только непрерывные - то они одинаковые.
no subject
Date: 2008-11-01 09:29 am (UTC)то есть, если мы задумаем покрасить плоскость и полуплоскость в зелёный цвет, в обоих случаях нам потребуется бесконечное количество зелёной краски?
(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:no subject
Date: 2008-11-01 09:10 am (UTC)Если привязать это к какой-нибуь задаче в которой возникнет вопрос где количество точек стремится к бесконечности быстрее - то ответом будет прямая :)
no subject
Date: 2008-11-01 09:46 am (UTC)(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:no subject
Date: 2008-11-01 11:31 am (UTC)no subject
Date: 2008-11-01 10:17 pm (UTC)(no subject)
From:no subject
Date: 2008-11-01 12:19 pm (UTC)луч где-то вдали затухает, а у полуплоскости с краю свалиться ничего не составляет.
no subject
Date: 2008-11-01 12:24 pm (UTC)при этом, как верно заметили выше, множество натуральных равномощно множеству целых (полупрямая и прямая).
no subject
Date: 2008-11-01 12:42 pm (UTC)(no subject)
From:no subject
Date: 2008-11-01 02:48 pm (UTC)(no subject)
From:no subject
Date: 2008-11-01 01:44 pm (UTC)Луч - не есть множество натуральных чисел, луч - это множество вещественных неотрицательных.
Так же как и прямая - не множество целых, а множество вещественных (действительных).
Для человеческого восприятия равномощности луча и плоскости, предлагаю представить следущее. Луч - это такая длинная-длинная проволока. нулевой толщины. с началом, но без конца.
Берём, закрепляем его в точке начала и начинаем накручивать на эту точку в виде спирали. получается всё более и более разрастающийся круг (ну, не совсем круг, если быть точным, но для восприятия сойдёт), который когда-то через бесконечное время покроет всю плоскость целиком.
no subject
Date: 2008-11-01 02:03 pm (UTC)no subject
Date: 2008-11-01 02:05 pm (UTC)(no subject)
From:(no subject)
From:no subject
Date: 2008-11-01 02:13 pm (UTC)(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:no subject
Date: 2008-11-01 07:10 pm (UTC)полуплоскость во много раз больше прямой.
а плоскость в 2 раза больше полуплоскости.
Просто понятие "бесконечность" лишено, да простят меня математики, всякой гибкости.
no subject
Date: 2008-11-01 11:23 pm (UTC)no subject
Date: 2008-11-03 06:00 am (UTC)про мощности кнешно можно вспомнить но сдается мне что автор поста больше имеет ввиду не бесконечность множества точек а именно то, что луп, прямая, плоскость "не имеют конца", не ограничены в пространстве, простираются " до бесконечности ". А это не то же самое что быть бесконечным множеством точек, которое может быть вполне себе ограниченным.
еще странно что никто не сказал что то что полуплоскость кажется " более бесконечной " математически можно выразить строго тем фактом что например топологическое измерение плоскости или полуплоскости - 2, а прямой или луча - 1.