сила геометрии

[xarkonnen.livejournal.com]

луч, прямая, полуплоскость и плоскость бесконечны.
однако интуитивно ощущается, что прямая более бесконечна, чем луч, полуплоскость более бесконечна, чем прямая, а плоскость более бесконечна, чем полуплоскость.
есть ли у такого ощущения какое-то строго математическое обоснование, или это просто глюк человеческого восприятия абстрактных понятий?

Comments

[oal.livejournal.com]

Наоборот. :)

Целые числа (прямая) и натуральные числа (луч) равномощны. То есть их "количество" -- "одинаковая" бесконечность. Доказывается просто: их можно отобразить один к одному. 0 -> 0, 1 -> 1, -1 -> 2, 2->3, -2->4, ...

В геометрических терминах я бы оно не выражал.

[xarkonnen.livejournal.com]

понятно. то есть луч ничуть не более бесконечен, чем прямая, ощущение - глюк.
тогда с плоскостью и полуплоскостью - аналогично, но на множестве комплексных чисел?
и, получается, плоскость всё-таки более бесконечна, чем прямая?

[lazylonelion.livejournal.com]

Плоскость и полуплоскость так же.
Более того, плоскость и прямая одинаково бесконечны в смысле мощности множества.

С другой стороны действительно если взять луч на прямой, то его точки являются подмножеством точек прямой, но не наоборот. Что не мешает этим множествам иметь одинаковую мощность.

Вот например множество натуральных (или рациональных) чисел и множество действительных имеют разную мощность, ЕМНИП.

[xarkonnen.livejournal.com]

для бесконечных множеств есть понятие мощности, и одно бесконечное множество может быть мощнее другого. то есть, кухонным языком выражаясь, одно множество бесконечнее другого. так и с дамами - та, что на восьмом месяце, явно более беременна чем та, что на третьем ;-)

[lexxair.livejournal.com]

да, например множество иррациональных и натуральных чисел

[andrey-larin.livejournal.com]

луч полубесконечен.

[xarkonnen.livejournal.com]

хм. половина бесконечности - всё равно бесконечность..

[potan.livejournal.com]

Отношение больше/меньше можно определить как существование однозначного отображения меньшего в большее какого-то класса.
Например, если брать класс отображений, сохраняющих растояние между точками, то полуплоскость меньше плоскости в евклидовой геометрии. А если требовать только непрерывные - то они одинаковые.

[xarkonnen.livejournal.com]

А если требовать только непрерывные - то они одинаковые.

то есть, если мы задумаем покрасить плоскость и полуплоскость в зелёный цвет, в обоих случаях нам потребуется бесконечное количество зелёной краски?

[fergus-macdubh.livejournal.com]

Ну, если ни к чему не привязываться, то луч и прямая одинаково бесконечны. Однако, множество точек луча, является подмножеством точек прямой (ну, если луч лежит на прямой конечно). То есть из бесконечного числа точек прямой часть лучу все-таки не принадлежит.
Если привязать это к какой-нибуь задаче в которой возникнет вопрос где количество точек стремится к бесконечности быстрее - то ответом будет прямая :)

[besuhoff.livejournal.com]

кстати, продолжая тему: часть точек прямой, лучу не принадлежащая - это половина или нет?))

[050778.livejournal.com]

выше где-то было, имхо, верное рассуждение, которое примерн так развить/пересказать можно - раз "померить" бесконечности полностью и сравнить, какая больше, не представляется возможным, то надо учитывать фактор времени измерения, а тут у прямой преимущество - она же в 2 стороны одновременно увеличивается. Имхо, как-то так :-)

[travolta-ru.livejournal.com]

не стоит пересказывать то, что вы сами не поняли либо, если поняли, то не можете пересказать

[nattengottin.livejournal.com]

наверное это субъективное + воображение + ассоциативность мышления. мне, например, кажется, что из всего перечисленного самая что ни на есть бесконечная- прямая.
луч где-то вдали затухает, а у полуплоскости с краю свалиться ничего не составляет.

[vladon.livejournal.com]

вообще это называется мощностью множества.

при этом, как верно заметили выше, множество натуральных равномощно множеству целых (полупрямая и прямая).

[oal.livejournal.com]

Ну вот. А я не хотел путать человека умными словасами.

[led-mist.livejournal.com]

почему прямая это целые числа??? а 2.5 куда девать?

[nefes.livejournal.com]

Те, кто отписывал тут с использованием математических терминов, несколько заблуждаются.
Луч - не есть множество натуральных чисел, луч - это множество вещественных неотрицательных.
Так же как и прямая - не множество целых, а множество вещественных (действительных).

Для человеческого восприятия равномощности луча и плоскости, предлагаю представить следущее. Луч - это такая длинная-длинная проволока. нулевой толщины. с началом, но без конца.
Берём, закрепляем его в точке начала и начинаем накручивать на эту точку в виде спирали. получается всё более и более разрастающийся круг (ну, не совсем круг, если быть точным, но для восприятия сойдёт), который когда-то через бесконечное время покроет всю плоскость целиком.

[xarkonnen.livejournal.com]

о! вот это доходчиво и наглядно. спасибо!

[yalexey.livejournal.com]

при нулевой толщине - ни когда не покроет.

[yalexey.livejournal.com]

Множеству всех действительных чисел равномощны: множество всех подмножеств счётного множества, множество всех комплексных чисел и, следовательно, множество всех точек плоскости, а также множество всех точек трёх- и вообще n-мерного пространства при любом n. Кантор высказал гипотезу (т. н. континуум-гипотезу): всякое множество, состоящее из действительных чисел, либо конечно, либо счётно, либо равномощно множеству всех действительных чисел.

[nameman.livejournal.com]

это не глюки, прямая в самом деле в 2 раза больше луча.
полуплоскость во много раз больше прямой.
а плоскость в 2 раза больше полуплоскости.

Просто понятие "бесконечность" лишено, да простят меня математики, всякой гибкости.

[nefes.livejournal.com]

для таких утверждений неплохо бы формулировать, что такое "больше" ;)

[mal4ik-pespisty.livejournal.com]

Во всех случаях это ощущение появляется не потомучто второе понятие математически "более бесконечно" чем первое а просто потомучто первое есть подмножество второго или может быть вложено без нарушения геометрической формы как подмножество второго.

про мощности кнешно можно вспомнить но сдается мне что автор поста больше имеет ввиду не бесконечность множества точек а именно то, что луп, прямая, плоскость "не имеют конца", не ограничены в пространстве, простираются " до бесконечности ". А это не то же самое что быть бесконечным множеством точек, которое может быть вполне себе ограниченным.

еще странно что никто не сказал что то что полуплоскость кажется " более бесконечной " математически можно выразить строго тем фактом что например топологическое измерение плоскости или полуплоскости - 2, а прямой или луча - 1.