сила геометрии

[xarkonnen.livejournal.com]

луч, прямая, полуплоскость и плоскость бесконечны.
однако интуитивно ощущается, что прямая более бесконечна, чем луч, полуплоскость более бесконечна, чем прямая, а плоскость более бесконечна, чем полуплоскость.
есть ли у такого ощущения какое-то строго математическое обоснование, или это просто глюк человеческого восприятия абстрактных понятий?

Comments

[xarkonnen.livejournal.com]

то есть, луч не менее бесконечен, чем даже n-мерное пространство, а не то что прямая?
хотя прямая тоже n-мерное пространство, только n=1, так?

[yalexey.livejournal.com]

Типа того.
Это вытекает из определения понятия мощности множества.
Если Вы введёте какие-то другие отношения между множествами, то есть шанс добиться иных результатов.

[yashunsky.livejournal.com]

Угу. Пусть у нас есть n-мерное пространство, в нём каждая точка описывается координатами {x1, x2, x3....xn} теперь возьмём и применим к каждой координате функцию y=(arctg(x)+1)/2. так как арктангенс при изменении аргумента от минус до плюс бесконечности менятеся от -1 до 1, то после применения такой функции у нас будет множество точке {y1,y2...yn}, расположенных в пределах n-мерного кубика со стороной 1. Теперь запишем каждую координату yi в десятичном виде yi=0,[yi_1][yi_2][yi_3].... где [yi_k] - отдельная цифра. Из всего этого сформируем число: a=0,[y1_1][y2_1]....[yn_1][y1_2][y2_2]...[yn_2][y1_3]..... и скажем, что это число — координата на нашем луче. То есть, каждой точке n-мерного кубика соответствует своя точка на отрезке луча от 0 до 1 :)

[yashunsky.livejournal.com]

..сразу скажу, n не обязано быть конечным. Просто там надо будет чуть хитрее собирать число "a" из цифр.

[xarkonnen.livejournal.com]

а что нельзя отобразить на луч? какой объект?

[yashunsky.livejournal.com]

Не знаю :( Сейчас погуглить попробовал, ничего про множества, сильнее несчётного не нашёл. В теории чисел после действительных идут комплексные и кватернионы, но они равномощные.
Сейчас пытаюсь вспомнить, будет ли равномощным множество подмножеств несчётного множества.

[mal4ik-pespisty.livejournal.com]

несчетное - это не название определенной мощности, так называется любая мощность сильнее счетной )))

множество подмножеств любого множества мощнее чем это множество :)

[mal4ik-pespisty.livejournal.com]

для любой мощности существует множество, мощность которого больше чем заданная мощность. Но наглядный пример привести трудно, лишь на абстрактном языке множеств.

[57dimok.livejournal.com]

Зашбись, какое извращенство!!!
Проще так: R x R равномощно R, а далее по индукции(R - множество действительных чисел, R x R - множество пар действительных)+ отдельно по той же логике для бесконечности.
А с арктангенсом у тебя будут интересные извращения с точкой + бесконечность, при применении стандартного определения континуума(мощность ОТРЕЗКА от 0 до 1)

[yashunsky.livejournal.com]

Не будет :) в данном случае я доказывал, что каждой точке множества найдётся своё место на отрезке, а не наоборот :) но да, с индукцией короче.