Логическая задачка

[alekoksan.livejournal.com]

У нас есть некая формальная непротиворечивая система. Будет ли являться непротиворечивой формальная система, построенная на отрицании аксиоматики первой?

UPD: Дорогие господа, задачка-то логическая. Так что ваши утверждения должны быть обоснованы логически. А то развели тут.

Comments

[regent.livejournal.com]

Я это и имел в виду в последнем предложении.

[alekoksan.livejournal.com]

Хм. Интересно. Попробую дальше.

[regent.livejournal.com]

Хорошо.

Заменяем первую аксиому на противоположную. Согласно доказанному выше, получаем систему аксиом номер 2, которая тоже непротиворечива.

Заменяем в системе 2 вторую аксиому - получаем систему номер 3, которая в силу того же опять непротиворечива.

Заменяем в системе 3 третью аксиому ...

И так пока не исчерпаем весь список.

[regent.livejournal.com]

Если "бог благ" — аксиома, то "бог есть" — теорема, поскольку не может быть благ тот, кого нет.

[alekoksan.livejournal.com]

Спасибо. Вы совершили революцию в моем сознании.

[alekoksan.livejournal.com]

Бога нет не противоречит с "Бог неблаг". Вот если бы "Бога нет" И "Бог вреден", тогда да.

[silur.livejournal.com]

Согласно теореме Гёделя вообще невозможно доказать непротиворечивость и полноту формальной системы =)

[alekoksan.livejournal.com]

Нельзя доказать используя аксиомы самой системы. С добавлением других можно.

[sam-buddy.livejournal.com]

Ну, например, опираясь на апории Зенона, которые совершенно безупречны логически, можно доказать, что движение невозможно. Ахиллес и черепаха, например.

[sam-buddy.livejournal.com]

Логика вообще противоречит здравому смыслу.

[yalexey.livejournal.com]

Здравый смысл эквивалентен пользе?

[yalexey.livejournal.com]

Вы пытаетесь представить, что система аксиом может быть либо непротиворечива, либо противоречива. Но это не так. Есть кванторы существования. При отрицании такого квантора остальные аксиомы не становятся противоречивыми. Они просто теряют смысл.

[sam-buddy.livejournal.com]

Хорошо, думаю, раз за столько тысяч лет никто эту белиберду опровергнуть не сумел – значит, сам опровергну. Представил себе прямую линию, по которой они бегут, Ахиллес с черепахой… Прямая состоит из бесконечного числа точек. Так?
– Н-ну… допустим.
– Начал мысленно приставлять точку к точке, чтобы прямую линию построить… – Гость умолк. Кажется, у него сел голос.
– Ну! – подбодрил Глеб.
– Ничего не вышло…
– Как не вышло? Почему?
Гость молчал. Глаза его были скорбны.
– Точка не имеет диаметра, – меланхолически пояснил он наконец. – Сколько их одну к другой ни прилаживай – всё равно получится точка. А линии не получится…
– Нет, ну, имеет, наверное… – попытался утешить Глеб. – Маленький просто…
Посетитель резко вздохнул, взял себя в руки.
– Нет, – решительно сказал он. – Если есть диаметр, то это уже не точка. Это шар… На плоскости – круг.
– И вот представьте себе пацана, – задумчиво начал он, – самостоятельно открывшего, что расстояний не бывает. А раз так, то и пространства нет. Помню, ходил я одурелый по городу и сознавал, что город-то мне, скорее всего, мерещится. Ох, жутко… А тут ещё мысль о собственной гениальности – ба-бах! – по неокрепшей детской черепушке. Протяжённость опроверг, вы подумайте! Зенона переплюнул… – Клиент вздохнул. – А пару лет спустя попал мне в руки томик Пьера Бейля (семнадцатый, между прочим, век). И вот читаю: «Даже наименее проницательный ум при небольшом усилии может с очевидностью уразуметь, что…» Дальше моё доказательство и ещё два доказательства в довесок… Вот тебе и гений! Вот тебе и переплюнул! – Гость невесело посмеялся, покрутил головой. – Ну я что? Поступил, как все: махнул рукой и стал жить дальше. Но злобу на Зенона всё же затаил, затаил… Анекдот про него придумал, даже в газете напечатал: «Однажды Зенон Элеат пытался догнать черепаху, не смог – и долго потом оправдывался». Не опроверг – так хоть позубоскалю…

[silur.livejournal.com]

Тогда, чтобы ручаться за выводы, полученные из новой системы, вам придётся доказать её полноту и непротиворечивость. Это невозможно сделать используя только аксиомы новой системы, поэтому придётся добавить ещё аксиом. И так до бесконечности. В этом и состоит принципиальное следствие теоремы Гёделя: невозможность доказать полноту и непротиворечивость любой системы, которую можно свести к формальной арифметике (читай, любого раздела математики, к коим относится и логика).

[regent.livejournal.com]

Тут Вы правы. Правда, в описываемом вами случае "аксиома не имеет смысла" означает, что она относится к объектам, не существующим в данной теории. То есть она является лишней, но не противоречивой. Поскольку автор спросил только "будет ли новая система аксиом непротиворечивой", то ответ: да, будет. Он ведь не спрашивал, будет ли она осмысленной.

[yalexey.livejournal.com]

Можно ли назвать набор непротиворечивых бессмысленных аксиом теорией?

[alekoksan.livejournal.com]

У нас уже есть первая система. Из непротиворечивости ее выводим непр. второй. ПРОФИТ
ЗЫ: непротиворечивая система всегда неполна, как следует из т. Геделя.

[silur.livejournal.com]

Вывод о непротиворечивости самой первой системы может быть истинным, а может быть ложным, в силу изложенных обстоятельств, потому что доказательство непротиворечивости идёт с помощью систем, непротиворечивость которых тоже надо доказать. А этого сделать невозможно =)))

[eterevsky.livejournal.com]

Формально говоря, аксиомы в корректной системе аксиом не обязаны быть независимы друг от друга, так что ваше доказательство не проходит.

Более того, даже если предположить, что в изначальной системе все аксиомы независимы, то бишь ни одна из них не следует из остальных, это свойство вовсе не обязано сохраниться после совершения первой же замены одной из аксиом на противоположную. То есть система A1, A2, A3 может быть независимой, а система A1, A2, "не A3" -- уже нет.

[eterevsky.livejournal.com]

Пример системы, отвечающей условиям:

Введём предикат P с одним аргументом, отвечающий слудующим аксиомам:

1. P(0)
2. не P(1)
3. P(0) или P(1)

Обращение этой системы аксиом будет такое:

1. не P(0)
2. P(1)
3. не (P(0) или P(1))

Очевидно, что эта система противоречива.

Вообще, судя по ответам ниже, это очень неподходящее для такого вопроса коммьюнити. Мат. логику никто не изучал, а мнение имеют. :)

[eterevsky.livejournal.com]

Да.

[regent.livejournal.com]

Если одна из "аксиом" следует из остальных, аксиома ли это?

[eterevsky.livejournal.com]

Любое утверждение может быть аксиомой.

[eterevsky.livejournal.com]

Что такое не0? 0 - терм, логическая операция "не" к нему неприменима.

[regent.livejournal.com]

Понятно. Вы в школе учились?