Логическая задачка

[alekoksan.livejournal.com]

У нас есть некая формальная непротиворечивая система. Будет ли являться непротиворечивой формальная система, построенная на отрицании аксиоматики первой?

UPD: Дорогие господа, задачка-то логическая. Так что ваши утверждения должны быть обоснованы логически. А то развели тут.

Comments

[golosptic.livejournal.com]

В общем случае - нет.
Можно ли подобрать частный случай, чтобы было - вопрос интересный. Подозреваю, что можно, но так вот навскидку, придумать не могу.

[icona-mat.livejournal.com]

хороший у вас дилер, не подсобите телефончиком?

по сабжу: я, как блондинка, считаю, что да.

[deep-flegmatic.livejournal.com]

Только при использовании Принципа Двойственности.

[reaktivny-puz.livejournal.com]

Она может быть формально непротиворечивой, но абсолютно не соответствующей реальности.

[buenos-alexis.livejournal.com]

Возьмем частный случай непротиворечивой формальной системы - таблицу Пифагора.
Основная аксиома - единица, взятая дважды, дает двойку (добро + добро = 2 добра)
Отрицаем эту аксиому - например, у нас единица, взятая дважды, дает единицу (добро + добро = добро). Ну и так далее - по нашей новой системе любое сложение будет равно единице.
Соответственно получим непротиворечивую таблицу умножения, хотя и несколько однообразного вида ;)

[horsehorse.livejournal.com]

не, думаю не будет. Аксиоматика - определение оснований. Отрицание оснований не создает новых, или в лучшем случае, создаёт менее определённые.

[karpion.livejournal.com]

Ну, формально говоря, геометрия Лобачевского и геометрия Риммана отрицают геометрию Евклида. При этом все три внутренне непротиворечивы.
Есть несколько видов алгебр, каждая со своей аксиоматикой.

Т.е. вообще говоря, вторая система м.б. непротиворечивой. А может и не быть.

[karachee.livejournal.com]

В поставленной задаче задано только одно условие "Отрицание аксиоматики непротиворечивой системы". Из этого одного условия ответ на вопрос о противоречивости новой системы не может быть получен.
Иными словами полученная система может быть равно и противоречивой и непротиворечивой.

Пример: На аксиомах "Бог есть" и "Бог благ" построена непротиворечивая система мировоззрения. На аксиомах "Бога нет" и "Бог неблаг" построить таковую не удастся, поскольку аксиомы противоречат друг другу. На аксиомах "Пиво вредно" и "Мясо вредно" построена непротиворечивая система питания. На аксиомах "Пиво полезно" и "Мясо полезно" система выйдет не менее непротиворечивая.

[yalexey.livejournal.com]

Юзфул же!

[silver-johnes.livejournal.com]

Согласно законам логики, нет.

[regent.livejournal.com]

Согласно законам логики, да. :)

Если бы замена одной из аксиом на противоположную приводила к противоречию, это означало бы, что данная аксиома логически вытекает из остальных. То есть это было бы доказательством аксиомы "от противного". Но "аксиома", которая доказуема — не аксиома, а теорема.

Следовательно, замена одной аксиомы на противоположную порождает новую непротиворечивую систему аксиом. Отсюда просто вытекает, что и замена всех аксиом не приводит к противоречию.

[silur.livejournal.com]

Согласно теореме Гёделя вообще невозможно доказать непротиворечивость и полноту формальной системы =)

[sam-buddy.livejournal.com]

Ну, например, опираясь на апории Зенона, которые совершенно безупречны логически, можно доказать, что движение невозможно. Ахиллес и черепаха, например.