Логическая задачка

[alekoksan.livejournal.com]

У нас есть некая формальная непротиворечивая система. Будет ли являться непротиворечивой формальная система, построенная на отрицании аксиоматики первой?

UPD: Дорогие господа, задачка-то логическая. Так что ваши утверждения должны быть обоснованы логически. А то развели тут.

Comments

[golosptic.livejournal.com]

В общем случае - нет.
Можно ли подобрать частный случай, чтобы было - вопрос интересный. Подозреваю, что можно, но так вот навскидку, придумать не могу.

[eterevsky.livejournal.com]

Пример системы, отвечающей условиям:

Введём предикат P с одним аргументом, отвечающий слудующим аксиомам:

1. P(0)
2. не P(1)
3. P(0) или P(1)

Обращение этой системы аксиом будет такое:

1. не P(0)
2. P(1)
3. не (P(0) или P(1))

Очевидно, что эта система противоречива.

Вообще, судя по ответам ниже, это очень неподходящее для такого вопроса коммьюнити. Мат. логику никто не изучал, а мнение имеют. :)

[icona-mat.livejournal.com]

хороший у вас дилер, не подсобите телефончиком?

по сабжу: я, как блондинка, считаю, что да.

[alekoksan.livejournal.com]

Пифагор, Лобачевский, Гаусс, Бор, Гейзенберг. Дальше ищите сами)

[deep-flegmatic.livejournal.com]

Только при использовании Принципа Двойственности.

[alekoksan.livejournal.com]

Просветите.

[reaktivny-puz.livejournal.com]

Она может быть формально непротиворечивой, но абсолютно не соответствующей реальности.

[alekoksan.livejournal.com]

Дак параллельные миры.

[yalexey.livejournal.com]

Чьей реальности?

[buenos-alexis.livejournal.com]

Возьмем частный случай непротиворечивой формальной системы - таблицу Пифагора.
Основная аксиома - единица, взятая дважды, дает двойку (добро + добро = 2 добра)
Отрицаем эту аксиому - например, у нас единица, взятая дважды, дает единицу (добро + добро = добро). Ну и так далее - по нашей новой системе любое сложение будет равно единице.
Соответственно получим непротиворечивую таблицу умножения, хотя и несколько однообразного вида ;)

[alekoksan.livejournal.com]

Уверены? 2*2 = 1, 3*2=1. 1/2 =?

[horsehorse.livejournal.com]

не, думаю не будет. Аксиоматика - определение оснований. Отрицание оснований не создает новых, или в лучшем случае, создаёт менее определённые.

[karpion.livejournal.com]

Ну, формально говоря, геометрия Лобачевского и геометрия Риммана отрицают геометрию Евклида. При этом все три внутренне непротиворечивы.
Есть несколько видов алгебр, каждая со своей аксиоматикой.

Т.е. вообще говоря, вторая система м.б. непротиворечивой. А может и не быть.

[alekoksan.livejournal.com]

Не отрицают полностью, а только 5 постулат.

[karachee.livejournal.com]

В поставленной задаче задано только одно условие "Отрицание аксиоматики непротиворечивой системы". Из этого одного условия ответ на вопрос о противоречивости новой системы не может быть получен.
Иными словами полученная система может быть равно и противоречивой и непротиворечивой.

Пример: На аксиомах "Бог есть" и "Бог благ" построена непротиворечивая система мировоззрения. На аксиомах "Бога нет" и "Бог неблаг" построить таковую не удастся, поскольку аксиомы противоречат друг другу. На аксиомах "Пиво вредно" и "Мясо вредно" построена непротиворечивая система питания. На аксиомах "Пиво полезно" и "Мясо полезно" система выйдет не менее непротиворечивая.

[regent.livejournal.com]

Если "бог благ" — аксиома, то "бог есть" — теорема, поскольку не может быть благ тот, кого нет.

[alekoksan.livejournal.com]

Бога нет не противоречит с "Бог неблаг". Вот если бы "Бога нет" И "Бог вреден", тогда да.

[yalexey.livejournal.com]

Юзфул же!

[alekoksan.livejournal.com]

ЩИТО?

[silver-johnes.livejournal.com]

Согласно законам логики, нет.

[regent.livejournal.com]

Согласно законам логики, да. :)

Если бы замена одной из аксиом на противоположную приводила к противоречию, это означало бы, что данная аксиома логически вытекает из остальных. То есть это было бы доказательством аксиомы "от противного". Но "аксиома", которая доказуема — не аксиома, а теорема.

Следовательно, замена одной аксиомы на противоположную порождает новую непротиворечивую систему аксиом. Отсюда просто вытекает, что и замена всех аксиом не приводит к противоречию.

[alekoksan.livejournal.com]

Замена ВСЕХ аксиом на противоположные.

[yalexey.livejournal.com]

Вы пытаетесь представить, что система аксиом может быть либо непротиворечива, либо противоречива. Но это не так. Есть кванторы существования. При отрицании такого квантора остальные аксиомы не становятся противоречивыми. Они просто теряют смысл.

[silur.livejournal.com]

Согласно теореме Гёделя вообще невозможно доказать непротиворечивость и полноту формальной системы =)

[alekoksan.livejournal.com]

Нельзя доказать используя аксиомы самой системы. С добавлением других можно.

[sam-buddy.livejournal.com]

Ну, например, опираясь на апории Зенона, которые совершенно безупречны логически, можно доказать, что движение невозможно. Ахиллес и черепаха, например.