Логическая задачка

[alekoksan.livejournal.com]

У нас есть некая формальная непротиворечивая система. Будет ли являться непротиворечивой формальная система, построенная на отрицании аксиоматики первой?

UPD: Дорогие господа, задачка-то логическая. Так что ваши утверждения должны быть обоснованы логически. А то развели тут.

Comments

[golosptic.livejournal.com]

В общем случае - нет.
Можно ли подобрать частный случай, чтобы было - вопрос интересный. Подозреваю, что можно, но так вот навскидку, придумать не могу.

[icona-mat.livejournal.com]

хороший у вас дилер, не подсобите телефончиком?

по сабжу: я, как блондинка, считаю, что да.

[deep-flegmatic.livejournal.com]

Только при использовании Принципа Двойственности.

[reaktivny-puz.livejournal.com]

Она может быть формально непротиворечивой, но абсолютно не соответствующей реальности.

[buenos-alexis.livejournal.com]

Возьмем частный случай непротиворечивой формальной системы - таблицу Пифагора.
Основная аксиома - единица, взятая дважды, дает двойку (добро + добро = 2 добра)
Отрицаем эту аксиому - например, у нас единица, взятая дважды, дает единицу (добро + добро = добро). Ну и так далее - по нашей новой системе любое сложение будет равно единице.
Соответственно получим непротиворечивую таблицу умножения, хотя и несколько однообразного вида ;)

[horsehorse.livejournal.com]

не, думаю не будет. Аксиоматика - определение оснований. Отрицание оснований не создает новых, или в лучшем случае, создаёт менее определённые.

[karpion.livejournal.com]

Ну, формально говоря, геометрия Лобачевского и геометрия Риммана отрицают геометрию Евклида. При этом все три внутренне непротиворечивы.
Есть несколько видов алгебр, каждая со своей аксиоматикой.

Т.е. вообще говоря, вторая система м.б. непротиворечивой. А может и не быть.

[karachee.livejournal.com]

В поставленной задаче задано только одно условие "Отрицание аксиоматики непротиворечивой системы". Из этого одного условия ответ на вопрос о противоречивости новой системы не может быть получен.
Иными словами полученная система может быть равно и противоречивой и непротиворечивой.

Пример: На аксиомах "Бог есть" и "Бог благ" построена непротиворечивая система мировоззрения. На аксиомах "Бога нет" и "Бог неблаг" построить таковую не удастся, поскольку аксиомы противоречат друг другу. На аксиомах "Пиво вредно" и "Мясо вредно" построена непротиворечивая система питания. На аксиомах "Пиво полезно" и "Мясо полезно" система выйдет не менее непротиворечивая.

[alekoksan.livejournal.com]

Уверены? 2*2 = 1, 3*2=1. 1/2 =?

[alekoksan.livejournal.com]

Дак параллельные миры.

[alekoksan.livejournal.com]

Пифагор, Лобачевский, Гаусс, Бор, Гейзенберг. Дальше ищите сами)

[alekoksan.livejournal.com]

Не отрицают полностью, а только 5 постулат.

[buenos-alexis.livejournal.com]

Если добро разделить на два добра все равно будет добро.
Другой вопрос, будут ли у нас вообще цифры больше 1 при таком подходе ;)
Но если уж нужна легенда, то мы можем ввести две системы счета - для исчисляемых объектов и для неисчисляемых. И соответственно при попытке совместить эти системы - снова приходим к таблице Пифагора, в которую засунут неисчисляемый пример.

[alekoksan.livejournal.com]

Просветите.

[yalexey.livejournal.com]

Юзфул же!

[silver-johnes.livejournal.com]

Согласно законам логики, нет.

[yalexey.livejournal.com]

Чьей реальности?

[alekoksan.livejournal.com]

ЩИТО?

[yalexey.livejournal.com]

Где Вы видели бесполезную логику?

[karpion.livejournal.com]

А что, надо обязательно полностью?

[alekoksan.livejournal.com]

В этом-то и смысл вопроса. Есть аксиомы А, Б, В. Они непротиворечивы. Будет ли непротиворечива система из неА, неБ, неВ?

[deep-flegmatic.livejournal.com]

Гуглофобов развелось )))
http://slovari.yandex.ru/~книги/БСЭ/Двойственности%20принцип/

[regent.livejournal.com]

Согласно законам логики, да. :)

Если бы замена одной из аксиом на противоположную приводила к противоречию, это означало бы, что данная аксиома логически вытекает из остальных. То есть это было бы доказательством аксиомы "от противного". Но "аксиома", которая доказуема — не аксиома, а теорема.

Следовательно, замена одной аксиомы на противоположную порождает новую непротиворечивую систему аксиом. Отсюда просто вытекает, что и замена всех аксиом не приводит к противоречию.

[alekoksan.livejournal.com]

Замена ВСЕХ аксиом на противоположные.

[karpion.livejournal.com]

Я так понимаю - может быть; а может и не быть. Зависит от того, какие это аксиомы.

Как правило, в используемых системах аксиомы более "сильные", чем их отрицания. Т.е. множество случаев, удовлетворяющих аксиоме, меньше, чем противоположных им. Соответственно. из системы аксиом можно вывести больше теорем, чем из отрицаний этих аксиом. Так что скорее всего, внутреннего противоречия не будет. Но и теорем никаких не выведешь. т.е. пользы не будет.