useless_faq | (no subject)

Так, небольшой ликбез. Цифра - символ, с помощью которого мы записываем число или его часть, исходя из принятой нами системы графического изображения числа. Число - математический объект. "Количество" чисел, а точнее - мощность класса чисел зависит от рассматриваемого класса, в то время, как цифр вполне конечное и ограниченное число, т.к. они используются живыми людьми, исходя из выбранной системы счисления.

Чуток насчет классов чисел: числа бывают натуральные (N) (для них вводится аксиоматика прибавления единицы и свойства операции сложения, т.е. 1+1=2, 2+1=3, 3+1=4, 4+1=5 и так до бесконечности, и a+(b+c)=(a+b)+c, a+b=b+a) - это базовый класс. 0 в него не входит. Таких чисел счетное множество, т.е. их "бесконечно много", но у каждого есть свой номер. Затем идут числа целые (Z), это N в объединении с (0) и -N. Их "столько же", сколько и натуральных чисел.

Потом идут числа рациональные. Это дроби, у которых в числителе целое число, а в знаменателе - натуральное. Их опять же счетное множество, т.е. столько же, сколько и натуральных.

Потом это множество расширяется до действительных чисел (древние греки не знали об этом, они думали, что все можно в виде дробей представить). Их уже континуум. Т.е. нельзя пронумеровать все числа. Как ни нумеруй (т.е. не строй функцию соответствия натуральных чисел действительным) - останутся непронумерованные действительные числа, причем останется континуум. Проще говоря, рациональных чисел несравненно меньше, чем всех действительных.

Есть еще гиперконтинуум, но с этим я не знаком.

божэ!

у меня УЖЕ заболела голова и начали мелко трястись руки! как можно все
ЭТО - знать?!

уважаю.

И даже больше!

что - больше? хотите сказать, что это можно не только знать, но и любить?!

впрочем, не удивлюсь, если именно так все и обстоит...

1. Знать надо на порядок больше.
2. К таким вещам относишься с вытаращенными глазами до тех пор, пока не начинается общая алгебра, волновая физика и (о ужас) квантовая механика с теорией вероятности, которые попросту рушат привычную нам картину жизни.
3. Любить это.... Лично я люблю маму, папу, девушку и т.д. Можно любить работу. А вот в математике можно находить красоту в абстракциях, которые порой имеют очень и очень неожиданные свойства, причем совершенно неочевидные.

1. зачем? ну, вот если в обычном, бытовом значении и применении - зачем?
2. да. я из породы тех, кто на такие вещи будет всегда смотреть, вытаращив глаза.
3. это - тоже мимо. сложно, наверное, искать красоту в том, чего ты не понимаешь - и понимать не стремишься, не так ли?

В бытовом - не нужно. Зачем врачу знать процессы окислительно-восстановительных реакций? Не нужно? Без этого, он не сможет придумать новое лекарство.

2. Это нормально для обычного человека.

3. Ну это да. Однако, на мой взгляд, страннен тот человек, которого не потрясет получасовой курс квантовой механики. Причем, с убедительными примерами на коленке.

А кроме действительных, есть такие же - но на перпендикулярной оси - мнимые числа. А сумма мнимых и действительных образует число комплексное! Это для порядку дополнение ;)

Они не такие же. Они совершенно не такие же. Мнимые числа вообще отдельно не рассматриваются, т.к. для них не определены операции умножения и сложения.

Почему же? Бывают же не только алгебраисты. Что, если с операциями плохо, то и изучать уже нельзя?

м... Ну я даже не встречал, что бы мнимые числа рассматривали отдельно от комплексных. Ведь на этом множестве даже умножать и делить нельзя.

>древние греки не знали об этом, они думали, что все можно в виде дробей представить

если мне не изменяет память, доказательство иррациональности числа $\sqrt{2}$ Пифагор знал.

>Есть еще гиперконтинуум, но с этим я не знаком.

это несложно. есть такой факт: мощность множества всех подмножеств произвольного непустого множества больше мощности этого множества. т.е., если мы рассмотрим множество всех подмножеств множества действительных чисел, то его мощность будет превосходить континуум. процесс естественно продолжается.

Да, Пифагор его знал.
Но факт наличия этого доказательства ввергал Пифагора в глубокий транс и не мешал ему верить, что ВСЕ числа выражаются дробями.
Вроде даже, именно от этого Пифагор перестал заниматься математикой (т.е. придумывать дальше доказательства и заниматься теорией чисел - в математическом смысле) а погрузился в эзотерику.

Есть легенда, что некий ученик Пифагора доказал иррациональность корня из 2. За что и был утоплен по приказу Пифагора.

Хотя на самом деле все что мы знаем о Пифагоре - легенды. На сколько я понимаю единственные достоверные факты таковы: Пифагор существовал, у него была жена и он основал секту. Вот и все. Так как в секте был обет молчания, то чем они на самом деле занимались неизвестно.

Ясно в этом только одно: жена ему в этой секте была не нужна. Такие вот у них были порядки в ликеях

Да это понятно, просто я не встречался с его использованием.

это тоже просто: например, множество всех функций, определенных на отрезке [0,1].

Хех, ну да. Чего же может быть проще?

Он приказал утопить ученика, который об этом рассказал. Вся его школа была основана на рациональных числах, а ученик был в политике неосведомлен. Его утопили.

А вот про действительные пару слов можно?

Про целые с натуральными все не так сложно, объяснено все вполне доступно для нас, давно закончивших школу гуманитариев. :)

если для закончивших школу гуманитариев, то примерно так: как уже упоминалось, еще Пифагор был поставлен перед фактом, что есть есть такие отрезки, длину которых нельзя представить рациональным числом, т.е. в виде несократимой простой дроби a/b. пример: длина диагонали квадрата со стороной 1. если теперь мы добавим к множеству рациональных чисел ещё и все числа, таким образом, чтобы длину любого отрезка можно было бы выразить каким-нибудь числом из получившегося множества, мы как раз и получим множество действительных чисел.

или так: известно, что любое рациональное число можно представить в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби, напр. 1/3 = 0.33333... или 1/7 = 0.142857142857142857... а теперь, если к таким десятичным дробям мы добавим всевозможные непериодические дроби, то мы как раз получим множество действительных чисел.

Суть в том, что каждому рациональному числу (т.е. дроби) можно поставить во взаимнооднозначное соответствие натуральное, т.е. можно пронумеровать все рациональные числа от -беск. до +беск. С действительными числами этого не получится. Как не нумеруй, все равно останутся непронумерованные числа.