Логическая задачка

[alekoksan.livejournal.com]

У нас есть некая формальная непротиворечивая система. Будет ли являться непротиворечивой формальная система, построенная на отрицании аксиоматики первой?

UPD: Дорогие господа, задачка-то логическая. Так что ваши утверждения должны быть обоснованы логически. А то развели тут.

Comments

[eterevsky.livejournal.com]

Формально говоря, аксиомы в корректной системе аксиом не обязаны быть независимы друг от друга, так что ваше доказательство не проходит.

Более того, даже если предположить, что в изначальной системе все аксиомы независимы, то бишь ни одна из них не следует из остальных, это свойство вовсе не обязано сохраниться после совершения первой же замены одной из аксиом на противоположную. То есть система A1, A2, A3 может быть независимой, а система A1, A2, "не A3" -- уже нет.

[regent.livejournal.com]

Если одна из "аксиом" следует из остальных, аксиома ли это?

[eterevsky.livejournal.com]

Любое утверждение может быть аксиомой.

[regent.livejournal.com]

Понятно. Вы в школе учились?

[eterevsky.livejournal.com]

Я учился на матмехе СПбГУ и в лаборатории мат. логики ПОМИ РАН.

[regent.livejournal.com]

В таком случае вас не затруднит привести пример аксиомы, вытекающей из других аксиом?

[eterevsky.livejournal.com]

Лехко! В моём комментарии выше третья аксиома вытекает из первой.

[regent.livejournal.com]

Чтобы избежать разночтений, приведите, пожалуйста, ещё раз тексты этих аксиом.

[eterevsky.livejournal.com]

Ок. Я задаю систему аксиом в исчислении предикатов (http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B2%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BA%D0%B0). Используется алфавит из двух символов-термов: "0" и "1", а также одноместный предикат P(x). Система состоит из следующих трёх аксиом:

1. P(0)
2. не P(1)
3. P(0) или P(1)

[regent.livejournal.com]

Хорошо. Третья аксиома вытекает из первой. То есть третье утверждение может быть доказано в системе, состоящей из первых двух аксиом. Но утверждение, доказуемое в системе аксиом, называется теоремой, а не аксиомой. Или я чего-то не понимаю?

[eterevsky.livejournal.com]

Просто это не взаимоисключающие понятия. Теоремы — суть все доказуемые утверждения в некоторой логической теории. То есть аксиомы входят в число теорем.

Впрочем, можно попробовать решить изначальную задачу с тем условием, чтобы ни одна из аксиом не следовала из всех остальных. Рассмотрим например такой вариант:

1. A или B.
2. не A или не B.

Как легко видеть, ни одна из этих аксиом не следует из другой. Отрицанием этих аксиом будет:

1. не A и не B.
2. A и B.

Очевидно, что получившаяся система противоречива.

[alekoksan.livejournal.com]

Только А и В, третьего не дано?

[regent.livejournal.com]

Потрясённый, рисовал кружочки, изображаюшие множества А и В. Убедился, что так оно и есть: если два множества пересекаются, то их дополнения могут и не пересекаться.

[regent.livejournal.com]

Да. Вы правы. И прошу прощения за это (http://useless-faq.livejournal.com/12434178.html?thread=367019266#t367019266).

[eterevsky.livejournal.com]

Ничего страшного.