useless_faq | Логическая задачка

Логическая задачка

У нас есть некая формальная непротиворечивая система. Будет ли являться непротиворечивой формальная система, построенная на отрицании аксиоматики первой?

UPD: Дорогие господа, задачка-то логическая. Так что ваши утверждения должны быть обоснованы логически. А то развели тут.

Flat | Top-Level Comments Only

Согласно законам логики, да. :)

Если бы замена одной из аксиом на противоположную приводила к противоречию, это означало бы, что данная аксиома логически вытекает из остальных. То есть это было бы доказательством аксиомы "от противного". Но "аксиома", которая доказуема — не аксиома, а теорема.

Следовательно, замена одной аксиомы на противоположную порождает новую непротиворечивую систему аксиом. Отсюда просто вытекает, что и замена всех аксиом не приводит к противоречию.

Замена ВСЕХ аксиом на противоположные.

Я это и имел в виду в последнем предложении.

Хм. Интересно. Попробую дальше.

Хорошо.

Заменяем первую аксиому на противоположную. Согласно доказанному выше, получаем систему аксиом номер 2, которая тоже непротиворечива.

Заменяем в системе 2 вторую аксиому - получаем систему номер 3, которая в силу того же опять непротиворечива.

Заменяем в системе 3 третью аксиому ...

И так пока не исчерпаем весь список.

Спасибо. Вы совершили революцию в моем сознании.

Нет. Я неправ.
http://useless-faq.livejournal.com/12434178.html?thread=367144706#t367144706

Вы пытаетесь представить, что система аксиом может быть либо непротиворечива, либо противоречива. Но это не так. Есть кванторы существования. При отрицании такого квантора остальные аксиомы не становятся противоречивыми. Они просто теряют смысл.

Тут Вы правы. Правда, в описываемом вами случае "аксиома не имеет смысла" означает, что она относится к объектам, не существующим в данной теории. То есть она является лишней, но не противоречивой. Поскольку автор спросил только "будет ли новая система аксиом непротиворечивой", то ответ: да, будет. Он ведь не спрашивал, будет ли она осмысленной.

Можно ли назвать набор непротиворечивых бессмысленных аксиом теорией?

Да.

Формально говоря, аксиомы в корректной системе аксиом не обязаны быть независимы друг от друга, так что ваше доказательство не проходит.

Более того, даже если предположить, что в изначальной системе все аксиомы независимы, то бишь ни одна из них не следует из остальных, это свойство вовсе не обязано сохраниться после совершения первой же замены одной из аксиом на противоположную. То есть система A1, A2, A3 может быть независимой, а система A1, A2, "не A3" -- уже нет.

Если одна из "аксиом" следует из остальных, аксиома ли это?

Любое утверждение может быть аксиомой.

Понятно. Вы в школе учились?

Я учился на матмехе СПбГУ и в лаборатории мат. логики ПОМИ РАН.

В таком случае вас не затруднит привести пример аксиомы, вытекающей из других аксиом?

Лехко! В моём комментарии выше третья аксиома вытекает из первой.

Чтобы избежать разночтений, приведите, пожалуйста, ещё раз тексты этих аксиом.

Ок. Я задаю систему аксиом в исчислении предикатов (http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B2%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BA%D0%B0). Используется алфавит из двух символов-термов: "0" и "1", а также одноместный предикат P(x). Система состоит из следующих трёх аксиом:

1. P(0)
2. не P(1)
3. P(0) или P(1)

Хорошо. Третья аксиома вытекает из первой. То есть третье утверждение может быть доказано в системе, состоящей из первых двух аксиом. Но утверждение, доказуемое в системе аксиом, называется теоремой, а не аксиомой. Или я чего-то не понимаю?

Просто это не взаимоисключающие понятия. Теоремы — суть все доказуемые утверждения в некоторой логической теории. То есть аксиомы входят в число теорем.

Впрочем, можно попробовать решить изначальную задачу с тем условием, чтобы ни одна из аксиом не следовала из всех остальных. Рассмотрим например такой вариант:

1. A или B.
2. не A или не B.

Как легко видеть, ни одна из этих аксиом не следует из другой. Отрицанием этих аксиом будет:

1. не A и не B.
2. A и B.

Очевидно, что получившаяся система противоречива.

Только А и В, третьего не дано?

Потрясённый, рисовал кружочки, изображаюшие множества А и В. Убедился, что так оно и есть: если два множества пересекаются, то их дополнения могут и не пересекаться.

Да. Вы правы. И прошу прощения за это (http://useless-faq.livejournal.com/12434178.html?thread=367019266#t367019266).

Edited 2012-01-05 19:35 (UTC)

(no subject)

eterevsky.livejournal.com - 2012-01-05 19:45 (UTC) - Expand

Flat | Top-Level Comments Only